A cikksorozat első részében közölt feladatok megoldása itt található. A mostani, második részben a Számelmélet, algebra témakör változásairól lesz szó. Először bemutatjuk az érettségi követelmények változását táblázatos formában. A táblázatban (piros színnel) jelezzük az újonnan megjelenő követelményeket és a törölt ismereteket is. (Ha egy követelmény átkerült középszintről emelt szintre, akkor azt csak a középszinten jelöljük kihúzással, hiszen eddig is része volt az emelt szintű követelményeknek.) A táblázat után a legfontosabb változásokat röviden megmagyarázzuk, értelmezzük, indokoljuk. Ezután a középszinten is újdonságnak számító ismeretek esetén mutatunk néhány olyan feladatot, amit a követelmények alapján el tudnánk képzelni egy feladatsorban. Hangsúlyozzuk, hogy ezek személyes elképzelések, az érettségi feladatokat összeállító bizottság nyilvánvalóan saját ötletei és szakmai meggyőződése szerint fog dolgozni.
2. Számelmélet, algebra
| TÉMÁK | VIZSGASZINTEK | ||
| Középszint | Emelt szint | ||
| 2.1 Alapműveletek | Tudjon alapműveleteket biztonságosan elvégezni (zsebszámológéppel is). Ismerje és használja feladatokban az alapműveletek műveleti azonosságait (kommutativitás, asszociativitás, disztributivitás). |
||
| 2.2 A természetes számok halmaza, számelméleti ismeretek | Ismerje, tudja definiálni és alkalmazni az oszthatóság alapvető fogalmait (osztó, többszörös, prímszám, összetett szám). Tudjon természetes számokat prímtényezőkre bontani, tudja adott számok legnagyobb közös osztóját és legkisebb közös többszörösét kiszámítani; tudja mindezeket egyszerű szöveges (gyakorlati) feladatok megoldásában alkalmazni. Definiálja és alkalmazza feladatokban a relatív prímszámokat. |
Tudja megfogalmazni a számelmélet alaptételét. Bizonyítsa, hogy végtelen sok prímszám van. |
|
| 2.2.1 Oszthatóság | Ismerje a 10 hatványaira, illetve a 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9 számokra vonatkozó oszthatósági szabályokat, tudjon egyszerű oszthatósági feladatokat megoldani. | Tudjon összetett oszthatósági feladatokat megoldani. Tudja meghatározni természetes számok pozitív osztóinak számát. |
|
| 2.2.2 Számrendszerek | Tudja a számokat átírni 10-es alapú számrendszerből \(n\) alapú (\(n ≤ 9\)) számrendszerbe és viszont. Ismerje a helyiértékes írásmódot. | Tudjon \(n\) alapú (\(n ≤ 9\)) számrendszerben felírt számokat összeadni és kivonni. | |
| 2.3 Racionális és irracionális számok | Tudja definiálni a racionális és irracionális számokat, és ismerje ezek kapcsolatát a tizedestörtekkel. | Adott \(n(n\in N)\) esetén tudja eldönteni, hogy \(\sqrt{n}\) irracionális szám-e. Bizonyítsa, hogy \(\sqrt{2}\) irracionális szám. Tudja meghatározni tizedestört alakban megadott racionális szám közönséges tört alakját. |
|
| 2.4 Valós számok | Ismerje a valós számkör felépítését (\(\mathbf{N}\), \(\mathbf{Z}\), \(\mathbf{Q}\), \(\mathbf{Q^*}\), \(\mathbf{R}\)), valamint a valós számok és a számegyenes kapcsolatát. Tudjon ábrázolni számokat a számegyenesen. Ismerje és használja a nyílt és zárt intervallum fogalmát és jelölését. Ismerje az abszolútérték definícióját. Ismerje adott szám normálalakjának felírási módját, tudjon számolni a normálalakkal. Tudjon adott helyiértékre vonatkozóan helyesen kerekíteni. |
Tudja, hogy mit értünk adott műveletekre zárt számhalmazokon. | |
| 2.5 Hatvány, gyök, logaritmus | Tudja értelmezni a hatványozást racionális kitevő esetén. | Ismerje a permanencia elvet. Tudja szemléletesen értelmezni az irracionális kitevőjű hatványt. |
|
| Ismerje és használja a hatványozás azonosságait. Bizonyítsa a hatványozás azonosságait konkrét alap és pozitív egész kitevő esetén. |
Bizonyítsa a hatványozás azonosságait egész kitevő esetén. | ||
| Ismerje és alkalmazza a négyzetgyökvonás azonosságait. Definiálja és használja a \(\sqrt{n}\) fogalmát. |
Bizonyítsa a négyzetgyökvonás azonosságait. Ismerje és alkalmazza a gyökvonás azonosságait. |
||
| Definiálja és használja feladatok megoldásában a logaritmus fogalmát. valamint a logaritmus azonosságait. Tudjon áttérni más alapú logaritmusra. Tudja kiszámolni tetszőleges alapú logaritmus értékét 10-es alapú logaritmus segítségével. |
Ismerje, bizonyítsa és alkalmazza a szorzat, a hányados és a hatvány logaritmusára vonatkozó azonosságokat. Ismerje, bizonyítsa és alkalmazza a más alapú logaritmusra való áttérés szabályát. |
||
| 2.6 Betűkifejezések | Ismerje a polinom fokszámát, fokszám szerint rendezett alakját. | ||
| 2.6.1 Nevezetes azonosságok | Tudja alkalmazni feladatokban a következő kifejezések kifejtését, illetve szorzattá alakítását: \((a + b)^2\), \((a – b)^2\), \(a^2 – b^2\). Tudjon algebrai kifejezésekkel egyszerű műveleteket végrehajtani, algebrai kifejezéseket egyszerűbb alakra hozni (összevonás, szorzás, osztás, szorzattá alakítás kiemeléssel, nevezetes azonosságok alkalmazása). |
Tudja alkalmazni feladatokban az \(a^n – b^n\), illetve az \(a^{2n+1} + b^{2n+1}\) kifejezés szorzattá alakítását. | |
| 2.7 Arányosság | Tudja az egyenes és a fordított arányosság definícióját és grafikus ábrázolásukat. Ismerje és tudja feladatokban alkalmazni az arányosság fogalmát. Ismerje és tudja feladatokban alkalmazni a százalék fogalmát. |
||
| 2.7.1 Százalékszámítás | |||
| 2.8 Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek, egyenlőtlenség-rendszerek |
Ismerje az alaphalmaz és a megoldáshalmaz fogalmát. Alkalmazza a különböző egyenletmegoldási módszereket: mérlegelv, grafikus megoldás, ekvivalens átalakítások, következményegyenletre vezető átalakítások, új ismeretlen bevezetése, értelmezési tartomány és értékkészlet vizsgálata. Tudja meghatározni szöveges feladatban szereplő változók értelmezési tartományát és a feladat eredményét összevetni a feladat szövegével. |
||
| 2.8.1. Algebrai egyenletek, egyenletrendszerek | Alkalmazza az egyenleteket, egyenletrendszereket szöveges feladatok megoldásában. | ||
| Elsőfokú egyenletek, egyenletrendszerek | Tudjon elsőfokú, egyismeretlenes egyenleteket és elsőfokú, kétismeretlenes egyenletrendszereket megoldani. | Tudjon paraméteres elsőfokú egyenleteket megoldani. Tudjon elsőfokú, háromismeretlenes egyenletrendszereket megoldani. |
|
| Másodfokú egyenletek, egyenletrendszerek | Ismerje az egyismeretlenes másodfokú egyenlet általános alakját. Ismerje a másodfokú egyenlet diszkriminánsának fogalmát, és a diszkrimináns előjele és a (valós) megoldások száma közötti összefüggést. Ismerje és alkalmazza a másodfokú egyenlet megoldóképletét. Használja a teljes négyzetté alakítás módszerét. Alkalmazza feladatokban a gyöktényezős alakot. Tudjon törtes egyenleteket, másodfokú egyenletre vezető szöveges feladatokat megoldani. Tudjon egyszerű másodfokú egyenletrendszereket megoldani. |
Igazolja a másodfokú egyenlet megoldóképletét. Igazolja és alkalmazza a gyökök és együtthatók közötti összefüggéseket. Tudjon másodfokú paraméteres egyenleteket megoldani. Tudjon törtes egyenleteket megoldani. Tudjon egyszerű másodfokú egyenletrendszereket megoldani. |
|
| Magasabb fokú egyenletek | Tudjon egyszerű, másodfokúra visszavezethető egyenleteket megoldani. | Tudjon másodfokúra visszavezethető egyenletet, egyenletrendszereket megoldani. Tudjon értelmezési tartomány, illetve értékkészlet-vizsgálattal, valamint szorzattá alakítással megoldható összetett feladatokat megoldani. |
|
| Négyzetgyökös egyenletek | Tudjon \(\sqrt{x+b}=cx+d\) típusú egyenleteket megoldani. | Tudjon legfeljebb két négyzetre emeléssel megoldható egyenleteket megoldani. | |
| 2.8.2 Nem algebrai egyenletek | |||
| Abszolútértékes egyenletek | Tudjon \(|ax + b| = cx + d\) típusú egyenleteket megoldani. | Tudjon összetett egyszerű abszolútértékes egyenleteket algebrai úton megoldani. | |
| Exponenciális egyenletek Logaritmusos egyenletek |
Tudjon definíciók és azonosságok közvetlen alkalmazását igénylő exponenciális egyenleteket megoldani. Tudjon exponenciális folyamatokkal kapcsolatos problémákat felismerni, modellezni és megoldani. |
Tudjon összetett exponenciális egyenleteket, egyenletrendszereket megoldani. Tudjon egyszerű logaritmusos egyenleteket megoldani. |
|
| Trigonometrikus egyenletek | Tudjon definíciók és azonosságok közvetlen alkalmazását igénylő feladatokat megoldani. | Tudjon definíciók és azonosságok közvetlen alkalmazását igénylő, és másodfokúra visszavezethető trigonometrikus egyenleteket megoldani. | |
| 2.8.3 Egyenlőtlenségek, egyenlőtlenségrendszerek | Tudjon egyszerű első- és másodfokú, valamint törtes egyenlőtlenségeket és egyszerű egyenlőtlenség-rendszereket megoldani. | Tudjon első és másodfokú egyenlőtlenség-rendszereket megoldani. Tudjon egyszerű négyzetgyökös, abszolútértékes, törtes, exponenciális, logaritmusos és trigonometrikus egyenlőtlenségeket megoldani. |
|
| 2.9 Középértékek, egyenlőtlenségek | Ismerje két pozitív szám számtani és mértani közepének fogalmát, kapcsolatát, használatát. |
Ismerje \(n\) két pozitív szám számított középértékeit (számtani, mértani, négyzetes, harmonikus), valamint a nagyságrendi viszonyaikra vonatkozó tételeket. Bizonyítsa, hogy \(\displaystyle\dfrac{a+b}{2}≥\sqrt{ab}\), ha \(a\), \(b\in \mathbb{R}^{+}\). Tudjon megoldani feladatokat számtani és mértani közép közötti összefüggés alapján. |
|
Mint látható, kevés érdemi változás történt ebben a témakörben. Kikerült a követelmények közül, vagy egyszerűsödött több megoldandó egyenlet-típus. Középszinten valódi újdonságot a kettestől eltérő alapú számrendszerek ismeretének megjelenése jelent. Hangsúlyozni kell, hogy a logaritmus fogalma továbbra is fontos, tanítandó ismeret, csak a logaritmus azonosságai nem képezik a követelmények részét. Az exponenciális folyamatok, ezek modellezése és megoldása eddig is (kimondatlan) része volt a követelmények, 2024-től várhatóan gyakrabban fognak ilyen feladatok megjelenni a középszintű érettségin. (De már az idei, 2023. évi májusi magyar nyelvű feladatsor 15. feladata is jó példa, középszinten ehhez hasonló problémákra kell számítani a jövőben.)
Egy további példa az exponenciális folyamatokkal kapcsolatos feladatokra szintén idén májusban az idegen nyelvű (és így talán kevesebb figyelmet kapó) középszintű feladatsor 17. feladata:
1. A 2018-as esztendőben az \(A\) kisüzem 500 millió forint, a \(B\) kisüzem 400 millió forint értékű terméket állított elő. A hosszú távú fejlesztési tervek szerint az A üzem évi 5%-kal, a \(B\) üzem évi 6%-kal növeli a termelési értékét.
a) Számítsa ki, hogy a tervek szerint a következő 20 év alatt (2019-től 2038-ig) összesen hány millió forint értékű terméket állítanak elő az \(A\) üzemben!
Egy gazdasággal foglalkozó portálon nyilvánosságra hozták a fenti terveket. A cikkhez kapcsolódó fórumon vita bontakozott ki. Az egyik hozzászóló szerint a következő időszakban évről évre egyre kisebb lesz a két üzem éves termelési értéke közötti különbség.
b) Számítsa ki a megadott táblázat hiányzó adatait, és igazolja, hogy ez a kijelentés nem igaz!
| 2018 | 2019 | 2020 | 2021 | |
| \(A\) üzem termelésének értéke (millió Ft) | 500 | |||
| \(B\) üzem termelésének értéke (millió Ft) | 400 |
A vitafórum egy másik résztvevője szerint éppen ellenkezőleg: a két üzem éves termelési értéke közötti különbség az évek múlásával egyre nagyobb lesz, és a \(B\) üzem termelési értéke soha nem fogja meghaladni az \(A\) üzem termelési értékét. Egy harmadik hozzászóló szerint ez sem igaz.
c) Számítsa ki, hogy melyik évben éri utol a \(B\) üzem termelésének értéke az \(A\) üzem termelésének értékét! (Feltételezzük, hogy a termelések értéke valóban a tervek szerint alakul.)
Egy idei (szintén az idegen nyelvű feladatsorban szereplő) emelt szintű feladat alapján annak akár középszinten is szerepeltethető változata:
2. Az interneten található adatok alapján a napenergiát elektromos energiává alakító eszközök maximális összteljesítményének magyarországi alakulását az alábbi táblázat szemlélteti (megawattban mérve).
| év | 2012 | 2013 | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 | 2018 | 2019 |
| összteljesítmény (MW) | 12 | 35 | 77 | 168 | 225 | 300 | 640 | 1277 |
a) Tételezzük fel, hogy az összteljesítmény évről évre ugyanannyiszorosára nőtt. 2013-tól 2019-ig évente hány százalékkal kellett volna növekednie az összteljesítménynek ahhoz, hogy 12 MW-ról 1277 MW-ra emelkedjen ezen időtartam alatt?
A maximális összteljesítmény alakulását exponenciális növekedésűnek feltételezve egy táblázatkezelő program a táblázatban megadott adatok alapján a \[c(x)=17{,}84\cdot 1{,}848^x\] közelítő összefüggést adja, ahol \(x\) a 2012 óta eltelt évek száma (\(x\) természetes szám), \(c(x)\) pedig MW-ban adja meg a maximális összteljesítményt a modell szerint.
b) A kapott modell alapján hány százalékkal nő évről évre a maximális összteljesítmény?
c) Hány százalékkal tér el a 2018. évi 640 MW-os adattól a modell alapján kiszámítható 2018-as érték?
d) Ha a modellt hosszútávon is érvényesnek gondoljuk, akkor melyik évben éri el a maximális összteljesítmény a 40 000 MW-ot?
Ezekből az adatokból más típusú feladatot is készíthetünk, amely emelt szinten biztosan kitűzhető lenne, de talán a középszintű követelményeknek is megfelel:
3. Rendelkezésünkre állnak az alábbi adatok a napenergiát elektromos energiává alakító eszközök maximális összteljesítményének magyarországi alakulásáról.
| év | 2013 | 2019 |
| összteljesítmény (MW) | 35 | 1277 |
Tételezzük fel, hogy az összeteljesítmény exponenciálisan alakul a \[c(x)=a\cdot b^x\] hozzárendelés alapján, ahol \(x\) a 2012 óta eltelt évek száma (\(x\) természetes szám), \(c(x)\) pedig MW-ban adja meg a maximális összteljesítményt. Számítsa ki \(a\) és \(b\) értékét!
A feladatok megoldása hamarosan megjelenik az Érintő Facebook-oldalán.
Csapodi Csaba
ELTE TTK Matematikatanítási és Módszertani Központ
Rényi Alfréd Matematikai Kutatóintézet Módszertani Osztály
