Amikor még doktorandusz voltam, a témavezetőm, John Conway gyakran behozta az egyetemre az akkor egyéves kisfiát, akit hamarosan csak kis szörnyként kezdett emlegetni mindenki. A címben szereplő kérdésre azonban a komolyabb válasz az, hogy a Monster (vagy magyarul Monstrum, Szörny vagy Barátságos Óriás) a (jelenleg ismert) legnagyobb sporadikus egyszerű csoport.1 A nevét is a mérete indokolja: az elemeinek száma \[\begin{align*}M&= 8080 17424 79451 28758 86459 90496 17107 57005 75436 80000 00000 = \\& = 2^{46} \cdot 3^{20} \cdot 5^{9} \cdot 7^{6} \cdot 11^{2} \cdot 13^{3} \cdot 17 \cdot 19 \cdot 23 \cdot 29 \cdot 31 \cdot 41 \cdot 47 \cdot 59 \cdot 71, \end{align*}\] ami körülbelül megegyezik a Jupiter bolygóban található elemi részecskék számával.
A Monstrum létezését először B. Fischer és R. L. Griess jósolta meg az 1970-es évek elején. Griess néhány évvel később rendkívüli bravúrral ténylegesen meg is konstruálta egy \(196883\)-dimenziós vektortér lineáris transzformációinak csoportjaként, amely megőriz egy bizonyos kommutatív, de nem asszociatív bilineáris szorzást — az úgynevezett Griess-szorzást.
A Monstrum szerkezetéről és reprezentációiról ma már meglehetősen sokat tudunk. Fischer, D. Livingstone és M. P. Thorne még azelőtt kiszámították a \(194\) irreducibilis komplex reprezentációt, hogy a Monstrum létezését bizonyították volna. Ezek nyolc teljes oldalt töltenek meg az Atlas of Finite Groups [1] című műben, amely a legjobb összefoglaló forrás nemcsak a Monstrumról, hanem más véges egyszerű csoportokról is. A részcsoport-szerkezet nagy része ismert; gyakorlatilag teljes a maximális részcsoportok listája is, a főbb hiányosságok inkább a nagyon kis egyszerű csoportok Monstrumba való beágyazásával kapcsolatosak. Ha valaki a Monstrum elemeinek explicit szorzását kívánná elvégezni, R. A. Wilson két olyan mátrixszal szolgál, amelyek generálják a Monstrumot. A bökkenő csak az, hogy mindkét mátrix körülbelül \(5\) GB tárhelyet igényel és, hogy idézzünk Wilson atlas oldaláról: „a standard generátorok most már a kételemű test feletti \(196882 \times 196882\)-es mátrixok formájában vannak… a Lehrstuhl D für Mathematik, RWTH Aachen szinte minden számítógépes kapacitását felhasználva az elemek körülbelül \(45\) óra alatt lettek összeszorozva…”. (A Monstrum elemeinek összeszorzása nem feltétlenül a csoport mérete miatt nagyon nehéz, hanem a kis fokszámú reprezentációinak hiánya miatt; például az \(S_{50}\) szimmetrikus csoport jóval nagyobb, mint a Monstrum, de két elemét papíron mindössze néhány perc alatt össze lehet szorozni.) Végül a Monstrum moduláris reprezentációit G. Hiss és K. Lux számolták ki nagy prímek esetén, míg kis prímekre ez nem tűnik egyelőre elérhetőnek.
Az \(1970\)-es évek végén John McKay a véges csoportelmélettől a Galois-elmélet felé fordult. Ott fontos szerepet játszik a következő elliptikus moduláris függvény: \[j(\tau) = q^{-1} + 744 + 196884q + 21493760q^{2} + \cdots = \sum c(n)q^{n},\] ahol \(q = e^{2\pi i\tau}\). Ez lényegében a legegyszerűbb nem konstans függvény, amely invariáns a \(\mathrm{SL}_{2}(\mathbb{Z})\) csoport felső félsík \(\tau \rightarrow (a \tau +b)/(c +d)\) transzformációjára. McKay észrevette, hogy \(c(1)\), vagyis \(196884\), majdnem pontosan megegyezik a Monstrum legkisebb nemtriviális komplex reprezentációjának \(196883\)-as dimenziójával. A moonshine kifejezés [2] nagyjából azokat a különös kapcsolódásokat jelenti, amelyek a sporadikus csoportok és a moduláris függvények (vagy más, távoli matematikai területek) között mutatkoznak. Sokan ezt puszta véletlennek tartották, de John Thompson továbbgondolta az ötletet, és megmutatta, hogy a \(j\)-függvény következő együtthatói is egyszerű lineáris kombinációi a Monstrum irreducibilis reprezentációinak dimenzióinak, például: \(21 493 760 = \,\)\(21 296 876 + 196 883 + 1\). Úgy gondolta, hogy a Monstrumnak kell legyen egy természetes végtelen-dimenziós fokszámozott \(V = \sum_{n \in \mathbb{Z}} V_n\) reprezentációja, ahol \(V_n\) dimenziója \(c(n)\), legalábbis ha \(n \not= 0\). (A \(j(\tau)\) függvény konstans együtthatója tetszőleges lehet, mivel \(j\)-hez konstanst adva továbbra is olyan függvényt kapunk, amely \(\mathrm{SL}_{2}(\mathbb{Z})\)-invariáns. A \(744\) történelmi okok miatt szerepel benne.) Conway és Norton [2] Thompson ötletét követve megvizsgálta a McKay–Thompson \(\mathrm{T}_g(\tau) = \sum_{n} \mathrm{Tr}(g \mid V_{n}) q^{n}\) sorokat, amelyek együtthatói a Monstrum \(g\) elemeinek \(V_n\) vektortereken való hatásainak nyomai, és kiszámítva az első néhány tagot, azt találták, hogy ezek a függvények mind \(0\) génuszú Hauptmodulok. (A Hauptmodul egy \(j\)-hez hasonló olyan függvény, amely egy \(\mathrm{SL}_{2}(\mathbb{Z})\)-től különböző csoportra nézve invariáns.) A. O. L. Atkin, P. Fong és S. D. Smith számítógépes módszerekkel megmutatták, hogy valóban létezik a Monstrumnak egy ilyen végtelen-dimenziós fokszámozott reprezentációja, amelynek McKay–Thompson sorai a Conway–Norton-féle Hauptmodulokkal egyeznek meg. Nem sokkal később I. B. Frenkel, J. Lepowsky és A. Meurman vertex operátorok segítségével explicit konstrukciót adott erre a reprezentációra.
Ha egy csoport hat egy vektortéren, akkor természetes kérdés, hogy milyen algebrai struktúrát hagy invariánsan, például egy bilineáris formát vagy egy szorzatot. A Frenkel–Lepowsky–Meurman-féle Monstrum modulus egy vertex algebra struktúrával rendelkezik, amely invariáns a Monstrum hatására nézve. Sajnos nem egyszerű elmagyarázni, hogy mi a vertex algebra; lásd a [3] könyvet ezzel kapcsolatosan. A vertex algebrák durva megközelítéssel kommutatív gyűrűk deriválással, ahol a szorzás nem mindenütt definiált; ez az algebrai geometriában a racionális leképezésekkel analóg, amelyek szintén nem mindenütt definiáltak. A vertex algebrának egy konkrétabb, de kevésbé intuitív definíciója: egy tér megszámlálhatóan sok bilineáris szorzattal, amelyek bizonyos igen komplikált azonosságoknak tesznek eleget. A \(V = \oplus V_n\) Monstrum vertex algebra esetén ezek bilineáris leképezések \(V_{i} \times V_{j}\)-ből \(V_k\)-ba minden \(i\), \(j\), \(k\) egész esetén, ahol az \(i = j = k = 2\) megszorítás lényegében a Griess-szorzatot adja. Vagyis a Griess-algebra a Monstrum vertex algebra valamilyen szekciója.
Frenkel egy ötletét követve a Monstrum vertex algebra és a húrelméletből származó Goddard–Thorn „no-ghost tétel” felhasználásával meg lehet konstruálni a Monstrum Lie-algebrát. Ez egy \(\mathbb{Z}^{2}\)-fokszámozott Lie-algebra, amelynek \((m,n) \in \mathbb{Z}^{2}\) fokszámú részének dimenziója \(c(mn)\) amennyiben \((m,n) \not= (0,0)\). A Monstrumra úgy lehet gondolni, mint ennek a Lie-algebrának bizonyos diagram automorfizmusai által alkotott csoportjára, oly módon, mint ahogy \(S_3\) a \(D_4\) Lie-algebra diagram automorfizmusainak csoportja. A Monstrum Lie-algebrának van denominátor formulája, amely hasonlít a véges dimenziós Lie-algebrák Weyl-féle denominátor formulájára és az affin Lie-algebrák Macdonald-Kac-féle azonosságaira, amelyek \[j(\sigma) – j(\tau) = p^{-1} \prod_{m > 0, n \in \mathbb{Z}} (1-p^{m}q^{n})^{c(mn)}\] alakúak, ahol \(p = e^{2\pi i \sigma}\) és \(q = e^{2\pi i \tau}\). Ezt a formulát az \(1980\)-as években egymástól függetlenül többen felfedezték köztük M. Koike, S. P. Norton és D. Zagier. Léteznek hasonló azonosságok, ahol \(j(\tau)\) helyett a Monstrum tetszőleges elemének McKay-Thompson sora szerepel, és C. J. Cummins, valamint T. Gannon megmutatták, hogy minden olyan függvény, amely ilyen azonosságokat teljesít, Hauptmodul. Ez valamiféle magyarázatot ad Conway és Norton azon észrevételére, amely szerint minden McKay-Thompson sor Hauptmodul.
Szóval arra a kérdésre, hogy mi is a Monstrum, többféle válasz adható:
- A legnagyobb sporadikus egyszerű csoport vagy az az egyetlen olyan egyszerű csoport, amelynek \(M\) a rendje.
- A Griess-algebra automorfizmus csoportja.
- A Monstrum vertex algebra automorfizmus csoportja. (Valószínűleg ez a legjobb válasz.)
- A Monstrum Lie-algebra bizonyos diagram automorfizmusai által alkotott csoportja.
Sajnos ezek közül egyik definíció sem teljesen kielégítő. Pillanatnyilag az algebrai struktúrák minden fenti konstrukciója mesterkéltnek tűnik; a konstrukciók kettő vagy több nyilvánvalóan különböző tér összegéből állnak és nagy erőfeszítés kell ahhoz, hogy algebrai struktúrát definiáljunk e terek összegén és ellenőrizzük, hogy a Monstrum hat az előállított struktúrán. Az még mindig nyitott probléma, hogy valóban egyszerű és természetes konstrukciót találjunk a Monstrum vertex algebrára.
Richard E. Borcherds
University of California, Berkeley
A fordító megjegyzése
Kimondunk egy olyan tételt, amely egyszerű módon is elmesélhető, és mutatja a Monstrum központi jelentőségét (kapcsolódva a fenti 1. válaszhoz, valamint a csoportelemek szorzásához).
Középiskolai tanárunk, Tarcsay Tamás vezette be nekünk a csoport fogalmát. Legyen \(G\) egy halmaz és rajta egy \(\cdot\) szorzás művelet, amely négy tulajdonsággal bír:
(i) minden \(a\), \(b \in G\) esetén \(a \cdot b \in G\),
(ii) minden \(a\), \(b\), \(c \in G\) esetén \((a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)\),
(iii) létezik \(G\)-ben olyan \(1\)-gyel jelölt elem, hogy minden \(a \in G\) esetén \(1 \cdot a = a = a \cdot 1\),
(iv) minden \(a \in G\) esetén létezik olyan \(b \in G\), hogy \(a \cdot b = 1 = b \cdot a\) (ezt az elemet \(a^{-1}\)-zel szokták jelölni).
Ekkor a \((G, \cdot)\) párt csoportnak nevezzük. Ha \(H\) részhalmaza \(G\)-nek és \((H,\cdot)\) önmaga is csoport, akkor \((H,\cdot)\) részcsoportja \((G, \cdot)\)-nek. A \((G, \cdot)\) és \((H, \star)\) csoportokat izomorfnak nevezzük, ha létezik olyan \(\varphi\) bijekció a \(G\) halmazból a \(H\) halmazba, hogy minden \(a\), \(b \in G\) esetén \(\varphi(a \cdot b) = \varphi(a) \star \varphi(b)\). Ha \((G, \cdot)\) csoport, akkor azt gyakran \(G\)-vel jelöljük (és megfeledkezünk a \(\cdot\) jelölésről). A \(G\) csoportot Abel-csoportnak nevezzük, ha minden \(a\), \(b \in G\) esetén \(ab = ba\).
Legyen \(G\) olyan csoport, amelynek véges sok eleme van. Elemeinek száma legyen \(|G|\). Ezt a számot a csoport rendjének is szokták nevezni. Lagrange bebizonyította, hogy ha \(H\) részcsoportja \(G\)-nek, akkor \(|H|\) osztja \(|G|\)-t. Fordítva, Cauchy megmutatta, hogy ha \(p\) olyan prím, ami osztja \(G\) rendjét, akkor \(G\)-ben van \(p\) rendű részcsoport. Ennél sokkal több is igaz. Sylow bebizonyította, hogy ha \(p\) prím és \(p^n\) a legmagasabb olyan \(p\)-hatvány, amely osztja \(G\) rendjét, akkor \(G\)-ben létezik olyan részcsoport, amelynek pontosan \(p^n\) eleme van. Az ilyen részcsoportot Sylow \(p\)-részcsoportnak nevezünk.
Legyen \(a\) tetszőleges elem egy \(G\) véges csoportban. Létezik olyan legkisebb pozitív egész \(n\) szám, hogy \(a^n = 1\). Ezt a számot \(a\) rendjének nevezik. Ha \(a\) rendje prímhatvány, akkor \(a\) benne van \(G\) egy Sylow részcsoportjában. Legyen \(p\) és \(q\) két különböző prím, és legyen \(G\) Abel-csoport. Ha \(a \in G\) rendje \(p\) és \(b \in G\) rendje \(q\), akkor \(ab\) rendje \(pq\).
Legyen \(H\) részcsoport \(G\)-ben és legyen \(a\) tetszőleges elem \(G\)-ben. Ekkor \(a^{-1}Ha\) is részcsoport \(G\)-ben. Ha minden \(a \in G\) esetén az \(a^{-1}Ha\) részcsoport megegyezik a \(H\) részcsoporttal, akkor \(H\)-t normális részcsoportnak nevezzük. Ha \(H\) normális részcsoport \(G\)-ben, akkor létezik egy \(G/H\)-val jelölt, úgynevezett faktorcsoport, ami csoport (és a rendje \(G\) véges csoport esetén \(|G|/|H|\)). Ha \(H\) és \(K\) normális részcsoportok \(G\)-ben, akkor \(HK\) is normális részcsoport \(G\)-ben.
Legyen \(\pi\) prímek egy halmaza és legyen \(G\) véges csoport. Jelölje \(O_{\pi’}(G)\) a \(G\) csoport összes olyan normális részcsoportjának szorzatát amelyek rendjei csak olyan prímekkel oszthatók, amelyek nem szerepelnek \(\pi\)-ben. G. Malle, A. Moretó és G. Navarro [4] a következő tételt bizonyították.
Legyen \(G\) véges csoport és legyen \(p\) és \(q\) két különböző prím. Ha \(G\)-ben nem létezik \(pq\) rendű elem, akkor két eset valamelyike teljesül: (i) A \(G\) csoport minden Sylow \(p\)-részcsoportja Abel, vagy a \(G\) csoport minden Sylow \(q\)-részcsoportja Abel; (ii) a \(G/O_{\{p,q\}’}(G)\) faktorcsoport izomorf a Monstrummal és \(\{p,q\} = \{ 5, 13 \}\) vagy \(\{p,q\} = \{ 7, 13 \}\).
A tétel nagyon érdekes, mert egyrészt a Monstrumban nem létezik sem \(65\), sem \(91\) rendű elem, másrészt létezik benne nem Abel Sylow részcsoport mind az \(5\), mind a \(7\), mind a \(13\) prímekre.
Fordító: Maróti Attila
HUN-REN Rényi Alfréd Matematikai Intézet
Irodalom
[1] J. H. Conway, R. T. Curtis, S. P. Norton, R. A. Parker, R. A. Wilson, Atlas of Finite Groups, Clarendon Press, Oxford, 1985.
[2] J. H. Conway, S. P. Norton, Monstrous moonshine. Bull. London Math. Soc. 11 (1979), 308–339.
[3] V. Kac, Vertex Algebras for Beginners, 2. kiadás, AMS, Providence, RI, 1998.
[4] G. Malle, A. Moretó, G. Navarro, Element orders and Sylow structure of finite groups. Math. Z. 252 (2006), no. 1, 223–230.
Lábjegyzet
1A témában tájékozatlanabb olvasónak ajánljuk: Monster Group (John Conway), Monster Group (wikipedia), Az értelmiség esete a véges egyszerű csoportok klasszifikációjával 2-6. pontok
Megjegyzés
Richard E. Borcherds: What is… the Monster c. cikke a Notices of the AMS folyóirat 49. kötetének 9. számában jelent meg (1076-1077. o.) 2002 októberében. A fordítást a szerző engedélyével közöljük. (Ábra: Chupacabras, Wikipedia Commons)
