A Héttusa rovatban kitűzött feladatokra
bárki küldhet megoldást. Ehhez a feladatok sorszámát és a feltett
kérdésekre a válaszokat kell megküldeni, indoklást, részletes megoldást
nem szükséges írni.
A válaszokat a hettusa@ematlap.hu címre várjuk. A beküldési határidő: 2025. április 7.
A verseny nyilvántartása érdekében kérjük, hogy megoldásaikat névvel vagy olyan álnévvel írják alá, amit nyilvánosan közzé tehetünk.
A határidőt követően a megoldások megjelennek a Facebook-oldalunkon. Az ezután beküldött megoldásokat nem értékeljük a versenyben. Az Érintő következő számában olvashatják a legjobb megoldók nevét és a megjegyzéseket, kiegészítéseket a megoldásokhoz.
Versenyzőinket két kategóriában jutalmazzuk: diák (általános vagy középiskolás), illetve felnőtt. Kérjük, hogy beküldéskor jelezzék, melyik kategóriában indulnak. Ha valaki ezt nem jelzi, őt a felnőttek közé soroljuk.
Fordulónként a legjobb megoldók közül néhányan könyvjutalmat kapnak. A Megoldások, megjegyzések a Héttusa 7. fordulójának feladataihoz tájékoztat a 2024 decemberében kitűzött feladatokat beküldők eredményeiről és megoldásaikról.
A Héttusába bekapcsolódók a KöMaL honlapján a Fórum rovatban megoszthatják egymással gondolataikat, ötleteiket a feladatokról, bízatjuk versenyzőinket, használják ki ezt a lehetőséget is.
Feladatrovatunkhoz örömmel veszünk minden segítő szándékot, várjuk új feladatjavaslataikat, valamelyik feladat szép megoldását, vagy a feladat általánosítását.
A 8. forduló feladatai
50. Van-e öt olyan egymást követő pozitív egész szám, amelyek legkisebb közös többszöröse négyzetszám?
51. Egy konvex kilencszög belsejében felveszünk egy \(P\) pontot. Tekintsük azokat a háromszögeket, amelyeknek minden csúcsa a kilencszög csúcsai közül való. Legkevesebb hány olyan háromszög van, amely a belsejében vagy a határán tartalmazza a \(P\) pontot, bárhogyan is vettük fel a kilencszöget és a \(P\) pontot?
52. Van-e olyan hétjegyű szám, amely leltározza önmagát? Ezen a következőt értjük: a szám első számjegye egyenlő a szám számjegyei között található 0-k számával, a második számjegye az 1-esek számával, a harmadik számjegye a 2-esek számával, és így tovább, a hatodik számjegye az 5-ösök számával, míg a hetedik számjegye a számban szereplő különböző számjegyek számát mutatja.
53. Írjuk be a 1, 2, 3, …, 64 számokat egymás után egy \(8\times 8\)-as táblázat mezőibe úgy, hogy az egymás után beírt számok mindegyike az előző számmal oldalszomszédos mezőbe kerüljön. Legfeljebb mekkora lehet a főátlóba beírt nyolc szám összege?
54. Az asztalra 8 különböző zsetont tettünk le egy sorba. Rendezzük őket fordított sorrendbe úgy, hogy egy lépésben vagy két szomszédos zsetont cserélünk meg, és ezért fizetünk 1 tallért, vagy két olyan zsetont cserélünk fel ingyen, amelyek között pontosan 3 zseton helyezkedik el. Legkevesebb hány tallért kell fizetnünk az átrendezésért?
55. Egy királyságban a kancellár és a 33 fős kancellária testületében mindenkinek egy-egy tallér a fizetése. A fizetések módosulnak, ha a kancellár erre javaslatot tesz, és azt a testület szavazással elfogadja. Mindenkinek a fizetése csak egész számú tallér lehet, és a fizetések összege mindig 34 tallér. Ha több szavazat van a javaslat mellett, mint ellene, akkor azt elfogadják. A kancellár nem szavazhat, csak a testület 33 tagja. Egy szavazó igennel szavaz, ha a javaslat növeli a fizetését, és nemmel szavaz, ha csökkenne a fizetése. Ha a fizetése az előző fizetéséhez képest nem változik, akkor tartózkodik a szavazástól. A kancellár naponta tehet egy újabb javaslatot.
A kancellár eléggé önző, és ugyanakkor okos is. Mekkora a legnagyobb fizetés, amit megszerezhet magának a kancellár?
56. Egy \(7\times 7\)-es táblázat celláiból hányféleképpen választhatunk ki 15 cellát úgy, hogy azoknak ne legyen közös pontja? (Azaz semelyik két cellának se legyen közös csúcsa vagy közös oldala.)
A feladatokat válogatta: Róka Sándor, a Héttusa rovat vezetője
