A 2025-ös Kürschák- és Schweitzer-versenyekről

A Bolyai János Matematikai Társulat 2025. december 10-én tartotta meg a Kürschák József Matematikai Tanulóverseny és a Schweitzer Miklós Matematikai Emlékverseny díjainak átadását a Rényi Intézet nagytermében. A díjak átadása előtt Maga Péter ,,A p-adikus számok Kürschák József szemszögéből” címmel tartott előadást. A versenyfeladatok megoldását a szokásoknak megfelelően a KöMaL februári számában közli.

Jelentés a 2025. évi Kürschák József Matematikai Tanulóversenyről

A Bolyai János Matematikai Társulat a 2025. évi Kürschák József Matematikai Tanulóversenyt október 10-én, közép-európai idő szerint 14 órai kezdettel rendezte meg a következő tizenhárom helyszínen: Budapest, Cambridge, Csíkszereda, Debrecen, Eger, Győr, Gyula, Ithaca, Kolozsvár, Miskolc, Szeged, Székesfehérvár és Veszprém.

A Társulat elnöksége a verseny lebonyolítására az alábbi bizottságot kérte fel: Biró András, Fleiner Tamás (elnök), Frenkel Péter, Harangi Viktor, Kós Géza, Kovács Benedek (titkár), Maga Péter, Pach Péter Pál és Tóth Géza. A bizottság szeptember 10-i ülésén az alábbi feladatokat tűzte ki:

1. Legyen \(n\) rögzített pozitív egész. Írjuk fel a \(0\), \(1\),\(\dots\), \(n-1\) számokat egy táblára valamilyen sorrendben. Két szám egymással inverzióban áll, ha a nagyobb megelőzi a kisebbet. Egy \(k\) számot nevezzünk sajátságosnak, ha pontosan \(k\) másikkal áll inverzióban. Legfeljebb hány sajátságos szám lehet a táblán?

2. Ebben a feladatban tízes számrendszerben felírt számokról lesz szó. Megengedünk nullával kezdődő felírásokat is. Egy páros sok számjegyből álló számot vághatónak nevezünk, ha két egyenlő hosszú részre félbevágva a részek összegének négyzete az eredeti szám. Például \(2025 =(20 + 25)^2\) és \(0001 = (00 + 01)^2\) négyjegyű vágható számok. Bizonyítsuk be, hogy a \(2n\)-jegyű vágható pozitív egész számok száma minden \(n\)-re \(2\)-hatvány.

3. Adott \(n\geq 10\) pont a síkon, nincs három egy egyenesen. Bizonyítsuk be, hogy ki lehet őket színezni pirossal és kékkel úgy, hogy minden félsík, ami legalább \(10\) pontot tartalmaz, tartalmaz piros és kék pontot is.

A bizottság november 27-i ülésén a beérkezett dolgozatok átnézése után a következő jelentést fogadta el:

„A verseny minden helyszínen rendben zajlott le, 119 regisztrált versenyzőtől összesen 104 dolgozat érkezett be.

A bizottság a versenyt követően szerzett tudomást arról, hogy a 2. feladat szerepelt az MBL tábor idei felvételi tesztjén. Sajnos az is csak későn derült ki, hogy a 3. feladat nehezebb formában nem csupán az 1992. évi Kürschák versenyen, hanem 2002-ben a KöMaL-ban is kitűzésre került A.281-es sorszám alatt. A bizottság egyelőre nem tervezi, hogy a feladatot a jövőben ismételten kitűzi.

Az idei versenyen 53-an oldották meg az első feladatot kisebb-nagyobb hiányossággal, a második feladatban pedig 15-en értek el érdemi eredményt. A harmadik feladat bizonyult a legnehezebbnek: ebben mindössze 9 versenyző tudott nemtriviális részeredményt felmutatni.

Két versenyző lényegében helyesen oldotta meg mindhárom kitűzött feladatot, ezért

I. díjat és 100 000 Ft pénzjutalmat nyer

Aravin Péter, az Ithaca High School 9. osztályos tanulója (tanárai Frederick Deppe, Pósa Lajos és Damásdi Gábor) valamint

Bodor Mátyás, a csíkszeredai Márton Áron Főgimnázium 12. osztályos tanulója (tanára Páll Olga).

Egy versenyző helyesen oldotta meg az 1. feladatot, azonban a 2. és 3. feladatokra adott megoldása kisebb kiegészítésre szorul. Ezért a teljesítményért

II. díjban és 60 000 Ft pénzjutalomban részesül

Morvai Várkony Albert, a Gödöllői Török Ignác Gimnázium 10. osztályos tanulója (tanárai Balázsné Zsigó Ágnes, Damásdi Gábor, Dobos Sándor és Kovács Benedek).

Kilenc versenyző az 1. feladat mellett egy másik feladatot is lényegében helyesen oldott meg. Ennek megfelelően

dícséretet érdemel

Czanik Pál, a Budapesti Fazekas Mihály Gyakorló Általános Iskola és Gimnázium érettségizett tanulója (tanárai Kocsis Szilveszter, Lenger Dániel, Dobos Sándor, Gyenes Zoltán, Hujter Bálint, Sándor András, Pósa Lajos, Nádor Benedek és Kovács Benedek),

Hajba Milán, a győri Révai Miklós Gimnázium és Kollégium 11. osztályos tanulója (tanárai Csete Lajos és Árki Tamás)

Holló Martin, a Budapesti Fazekas Mihály Gyakorló Általános Iskola és Gimnázium 12. osztályos tanulója (tanárai Hujter Bálint, Gyenes Zoltán, Kiss Géza, Dobos Sándor, Surányi László és Nagy Kartal),

Sánta Gergely, a Budapesti Fazekas Mihály Gyakorló Általános Iskola és Gimnázium 11. osztályos tanulója (tanárai Dobos Sándor, Lenger Dániel, Gyenes Zoltán és Pósa Lajos),

Sárdinecz Dóra, a Budapesti Fazekas Mihály Gyakorló Általános Iskola és Gimnázium 12. osztályos tanulója (tanárai Hujter Bálint, Gyenes Zoltán és Kiss Géza),

Sarusi-Kis Balázs, az ELTE Radnóti Gyakorló Gimnázium 12. osztályos tanulója (tanárai Steller Gábor, Kornai Júlia és Nagy Kartal),

Schmidt Botond, a budapesti Szent István Gimnázium 10. osztályos tanulója (tanárai Juhász István és Juhász Péter),

Varga Boldizsár, a Békásmegyeri Veres Péter Gimnázium érettségizett tanulója, aki jelenleg az ELTE TTK matematika szakos hallgatója (tanára Holló Gábor) és

Vödrös Dániel, a Budapesti Fazekas Mihály Gyakorló Általános Iskola és Gimnázium 11. osztályos tanulója (tanárai Dobos Sándor, Lenger Dániel, Pósa Lajos, Simon Péter, Gyenes Zoltán, Ádám Réka és Fazakas Tünde).

A versenybizottság ezúton köszöni meg minden versenyző, felkészítő tanár és a lebonyolításban közreműködő kolléga munkáját, valamint a Lovász Alapítvány pénzdíjakhoz nyújtott támogatását, a díjazottaknak pedig további sikereket kívánva gratulál.”

Jelentés a 2025. évi Schweitzer Miklós Matematikai Emlékversenyről

A Bolyai János Matematikai Társulat 2025 október 24. és november 3. között rendezte meg a 2025. évi Schweitzer Miklós Matematikai Emlékversenyt. A versenyen középiskolai tanulók, egyetemi és főiskolai hallgatók, valamint 2025-ben egyetemet vagy főiskolát végzettek vehettek részt.

A verseny lebonyolítására a Társulat a következő bizottságot kérte fel: Páles Zsolt (elnök), Oláh Márk, Remete László (titkárok), Baran Sándor, Bérczes Attila, Boros Zoltán, Fazekas István, Figula Ágota, Gát György, Győry Kálmán, Hajdu Lajos, Muzsnay Zoltán, Nagy Gergő, Novák-Gselmann Eszter, Pink István, Tengely Szabolcs, Vincze Csaba.

A versenybizottság 10 feladatot tűzött ki, melyeknek a szerzői sorrendben:

1. Bodor Bertalan, 2. Gyenizse Gergő és Nemes Bernadett, 3. Hajdu Lajos, 4. Pink István, 5. Totik Vilmos, 6.  Totik Vilmos, 7. Totik Vilmos, 8. Buczolich Zoltán, 9. Páles Zsolt, 10. Fazekas István és Fazekas Borbála.

A versenyen 10 természetes személy és egy mesterséges intelligencia vett részt. A versenyzők összesen 73 megoldást adtak be, melyek között 46 volt hibátlan, és 8 lényegében helyes. Az alábbi táblázatban pontok jelzik, hogy melyik résztvevő melyik feladatra nyújtott be megoldást:

I. díjban részesül:

Kocsis Anett, aki az ELTE matematikus mesterszakán 2025-ben végzett.

III. díjban részesülnek:

Hegedűs Dániel, az ELTE másodéves matematika MSc szakos hallgatója,

Ivanyos János, az ELTE elsőéves matematika MSc szakos hallgatója,

Jánosik Máté, az ELTE elsőéves matematika MSc szakos hallgatója és

Varga Boldizsár, az ELTE elsőéves matematika BSc szakos hallgatója.

Dícséretben részesül:

Duchon Márton Gergő, az ELTE másodéves matematika BSc szakos hallgatója és

Wolff Herbert Peter, a DE harmadéves matematika BSc szakos hallgatója.

Indoklás:

• Kocsis Anett mind a 10 feladatra nyújtott be megoldást. Az ötödik és a kilencedik feladaton kívül minden megoldása hibátlan, ez utóbbiak pedig kisebb hiányosságoktól eltekintve helyesek. Az ő teljesítménye kimagasló volt, egyedül a mesterséges intelligencia tudott hasonló teljesítményt elérni a versenyen.
• Hegedűs Dániel szintén mind a 10 feladatra adott be megoldást, ebből a 2., 3., 4., 5. és 6. feladatokra beküldött megoldásai hibátlanok, a 8. feladat megoldása kisebb hiányosságoktól eltekintve helyes, a 7-es és 10-es feladatok megoldásai pedig részben helyesek.
• Ivanyos János 8 feladatra adott be megoldást, amelyekből a 3., 6., 7. és 10. feladatok megoldásai hibátlanok, az 1. és 4. feladatok megoldásai kisebb hiányosságoktól eltekintve helyesek és a 2. feladat megoldása részben helyes.
• Jánosik Máté 7 feladatra nyújtott be megoldást, amelyek közül az 1., 3., 4., 5. és 6. feladat megoldásai hibátlanok, és a 2. feladat megoldása kisebb hiányosságoktól eltekintve helyes.
• Varga Boldizsár 8 feladatra küldött be megoldást, ezekből a 3., 4., 5., 6. és 8. feladatok megoldása hibátlan.
  Mivel mind a négy versenyző közel azonos eredményt ért el, viszont a helyes megoldások számában elmaradnak az első díjas eredményétől, ezért a versenybizottság úgy döntött, hogy második díjat nem oszt ki, helyette mind a négyen megosztott harmadik díjban részesülnek.
• Duchon Márton Gergő 6 feladatra adott be megoldás, melyek közül az 1., 4. és 9. feladat megoldása hibátlan, a 2. feladat megoldása pedig kisebb hiányosságoktól eltekintve helyes. Külön kiemelendő, hogy a legnehezebbnek bizonyuló 9. feladatra egyedüliként adott be hibátlan megoldást.
• Wolff Herbert Peter 3 feladatra küldött be megoldást, ezek az 1., 6. és 7. feladatok, melyek mindegyikének a megoldása hibátlan.
  A két versenyző azonos számú hibátlan megoldása alapján mindketten dicséretben részesülnek.

A fentieken kívül Pázmándi József Áron (10. osztályos tanuló) és Metzger Ábris oldotta meg hibátlanul a 4. és 6. feladatot, míg Somogyi Martin kisebb hiányosságoktól eltekintve a 4. feladatot.

Összességében elmondható, hogy a 4. és 6. feladatokra beadott megoldások voltak a legsikeresebbek, a 9. feladat pedig a legnehezebb abban az értelemben, hogy csupán egy hibátlan és egy kisebb hiányosságoktól eltekintve helyes megoldás érkezett rá.

Érdemes megemlíteni, hogy idén a MathArena csapata (https://matharena.ai/) is beszállt a versenybe, és az OpenAI által fejlesztett GPT-5-Pro modellt használva generáltak megoldásokat. A megoldásokat javító kollégák nem tudták, hogy a megoldásokat nem természetes személy írta, így azokat ugyanazon szempontrendszerek szerint javították, mint a többi versenyzőét. A modell a 10 feladatból 9-et hibátlanul és kifejezetten olvasmányosan oldott meg, legtöbbször kikerülve, vagy egyszerűen bizonyítva a mások által szakirodalomból idézett eredményeket. Egyedül a 9. feladatra adott megoldása volt hibás, mely esetén olyan feltételt használt fel, amely nem igaz, és amivel a feladat lényegesen leegyszerűsödik. A MathArena csapata a feladatokat magyarról lefordította angolra majd egyszerűen beküldték őket a modellnek. A megoldásokhoz tex fájlt generált a GPT-5-Pro, amelyeken már csak apróbb (pl. unicode karakterek cseréje) változtatásokat végeztek, tehát a matematikai tartalmon már nem változtattak.