Ebben az évben az a megtiszteltetés ért minket (Bálint Pétert, Bárány Balázst, Simon Károlyt és Szász Domokost), hogy ősszel tematikus szemesztert szervezhettünk az Erdős Centerben. Az Erdős Centert a Rényi Alfréd Matematikai Kutatóintézet 2021-ben alapította azzal a céllal, hogy konferenciáknak, nyári iskoláknak és tematikus szemesztereknek adjon otthont a matematika számos, Magyarországon is magas szinten művelt ágában.
A félév tematikus programját a „Fraktálok és hiperbolikus dinamikai rendszerek” témakörében szerveztük. Bár első hallásra a program két különböző témát dolgoz fel, valójában a fraktálok rendkívül szorosan kapcsolódnak a dinamikai rendszerekhez, gondolhatunk itt például a Lorenz-féle különös attraktorra vagy esetleg a Smale-patkóra. Mindkét témának megvan a saját, kiterjedt, nemzetközi kutatóközössége, azonban mindkét téma számos közös módszert és eszközt használ, s szoros összefüggésben fejlődik.
A félév programja mindkét témában egy-egy nyári iskolával és egy-egy konferenciával vette kezdetét. A „Fraktálok dimenzióelmélete” nyári iskolában a témakör négy, nemzetközileg nagy megbecsüléssel bíró eladója tartott egy-egy bevezető vagy haladó jellegű minikurzust.
De-Jun Feng (Chinese Univ. Hong-Kong, Kína) előadássorozatában a fraktálmértékek egy fontos regularitási tulajdonságról, az egzakt dimenzióról elért friss eredményét ismertette mélyrehatóan, Antti Käenmäki (Rényi Intézet) az Assouad-dimenzió és érintőhalmazok kapcsolatáról, Michał Rams (IMPAN, Lengyelország) multifraktálanalízisről, illetve Pablo Shmerkin (Uni. British Columbia, Kanada) az additív kombinatorikai módszerekkel elért rendkívüli eredményekről tartott érdekfeszítő előadássorozatot. A „Determinisztikus és véletlen fraktálok geometriája II” konferencia meghívott előadói és résztvevői az elért legújabb eredményeikről tartottak előadásokat.
A „Hiperbolikus dinamikai rendszerek valószínűségszámítási vonatkozásai” nyári iskola keretében négy, a kaotikus dinamikai rendszerekben fellépő véletlen jelenségeket különböző, friss kutatási áttörésekhez kötődő szempontból tárgyaló előadássorozat hangzott el a témakör világhírű tudósaitól.
Kaotikus biliárd rendszerekre irányult Carlangelo Liverani (Univ. Roma Tor Vergata, Olaszország) és Mark Demers (Fairfield Univ, USA) minikurzusa is, előbbi az ezekre a rendszerekre kidolgozott módszereket, többek között a nemrég sikeresen alkalmazott Birkhoff-kúp technikát mutatta be, utóbbi a fraktális tulajdonságokhoz is erősen kapcsolódó termodinamikus formalizmus kérdéskörét járta körbe. Dmitry Dolgopyat (Univ. of Maryland, USA) az időtől függő (más szóval nemstacionárius) dinamikai rendszerekben fellépő határeloszlás-tételeket tárgyalta, Gary Froyland (Univ. of New South Wales, Ausztrália) pedig az alkalmazások szempontjából különösen fontos véges idejű koherens struktúrák rejtelmeibe vezette be a közönséget.
Igen magas színvonal és a témák sokszínűsége jellemezte az iskolát követő „Kaotikus rendszerek statisztikus tulajdonságai egyensúlyban és egyensúlyon kívül” workshop-ot is.
A workshop kiváló lehetőséget teremtett arra, hogy az egyre inkább kutatás homlokterébe kerülő kérdéseket – például a fent is említett nemstacionárius jelenségeket és véges idejű struktúrákat, valamint az ezek leírására alkalmas új technikákat – különböző szempontokból vizsgáló kutatói közösségek találkozzanak és eszmét cseréljenek.
Egy-egy ilyen esemény rendkívüli fontossággal bír nemcsak a már meglévő nemzetközi tudományos kapcsolatok elmélyítésére, de a hazai és külföldi fiatal kutatók számára is, akik nagy számban vettek részt az eseményeken, s így bekapcsolódhatnak a kutatás vérkeringésébe.
A félév során több, kisebb, úgynevezett fókusz-workshopot is szerveztünk, ezeken egy-egy témát dolgoztunk fel szűkebb körben, mint például harmonikus analízis módszerei a fraktálgeometriában, \(L^{q}\)-dimenzió, síkbeli tartományok és biliárdok spektrális tulajdonságai, sztochasztikus kölcsönható részecskerendszerek spektrális résének becslése.
A program jóvoltából Michał Rams és Antti Käenmäki tölthette hazánkban ezt a félévet, s mélyíthettük el velük az eddig is gyümölcsöző kutatási együttműködést, bekapcsolva fiatal kutatókat is a velük való együttműködésbe.
Külön szeretnénk köszönetet mondani az Erdős Center igazgatóságának és Böröczky Károly igazgatónak a hihetetlen lehetőségért, valamint meg szeretnénk köszönni Bogáti Ildikó, Opauszki Hanna és Kis Anikó alapos és lelkiismeretes munkáját, akik nélkül ez a program nem jöhetett volna létre!
Bálint Péter, Bárány Balázs,
BME Matematikai Intézet
