– a Varga Tamás-féle felfedeztető matematikatanítás és az ignáci pedagógia 1. rész –
A Varga Tamás nevével fémjelzett komplex matematikatanításról számos elméleti, történeti, illetve módszertani írás született már. Az Érintő 2025 márciusi számában Németh Annával – aki közel 30 éve a miskolci Fényi Gyula Jezsuita Gimnázium matematikatanára – beszélgettünk életútjáról, innovatív, felfedeztető tanítási stílusáról, aktuális nehézségeiről, kérdéseiről „A tapasztalatból születő gondolat” című interjúban. Már akkor is felmerült, hogy jó lenne alaposabban körüljárni a felfedeztetés és az iskolájában alkalmazott, ignáci pedagógia hasonlóságait, különbségeit; az interjú ennek igyekszik eleget tenni.
Talán érdemes röviden feleleveníteni Loyolai Szent Ignác megtérésének történetét, amely kiindulópontként szolgálhat az ignáci lelkiség és pedagógia megértéséhez.
A baszk származású, lánglelkű katonát, Ignácot (akkor még Inigo) 1521-ben egy csatában megsebesíti egy ágyúgolyó. Hosszú ideig lábadozik, unalmában olvas: izgalmas lovagregényeket kér, de csak Jézus élete van kéznél. Telnek a napok, és érdekes felfedezést tesz: habár jó érzések támadnak benne, amikor hiú ábrándokat sző lovagi kalandjairól, de végül mindig elkedvetlenedik, ám amikor Istenről vagy a szentek önfeláldozó tetteiről olvas és képzeletben ő is Jézus nyomába szegődik, az elkalandozást követően is jó érzések maradnak benne.
Ignác reflektál a tapasztalatára: az utóérzet mutatja meg, hogy a lábadozást követően merre vegye az útját, és ez cselekvésre ösztönzi: elhagyja a katonai pályát, megtér, zarándok lesz.
Ugyanez a hármas egység – tapasztalat, reflexió és cselekvés – tükröződik az ignáci pedagógia, azaz a Loyolai Szent Ignác lelkiségét követő jezsuita rend paradigmájában.
Tapasztalat – A tanár a tanulók tapasztalatára épít, arra, amit már tudnak, éreznek és hisznek az adott tananyaghoz kapcsolódóan. Segít nekik abban, hogy a már meglévő tapasztalataikat képesek legyenek kifejezni, újrafogalmazni. Hozzáteszi saját tapasztalatát a tanulás-tanítás folyamatához, de közben nem csökkenti a diákok saját tapasztalatának értékét.
Reflexió – Az ignáci modell legfontosabb eleme a reflexió. Lényege abban rejlik, hogy a tapasztalatra építünk, így fedezünk fel új dolgokat és szerzünk új készségeket. A megértés elmélyítése segít abban, hogy a diák a megszerezett új tudást és ismeretet hozzá tudja tenni ahhoz a már meglévő képhez, amit az univerzumról, az emberi létről és önmagáról alkot.
Cselekvés – A jezsuita oktatásban a tanulás cselekvéshez vezet. A tanárok kreatív és vonzó lehetőségeket kínálnak a tanulók számára az új készségek kipróbálására és új ismeretek felhasználására. A diákok így megtanulják, hogyan fejezzék ki önmagukat, hitüket, értékeiket és kérdéseiket. A reflektált tapasztalatokra épülő cselekvés által a diákok lépéseket tesznek afelé, hogy valódi és koherens világképük alakuljon ki és hogy megtalálják, mi a feladatuk a világban. A legfontosabb, hogy másokért élő emberekké váljanak, olyanokká, akik képesek változást elindítani kisebb és nagyobb dolgokban, akik jobbá tudják tenni a világot.
A beszélgetés fő témáinak, alapszavainak meghatározásához nagy segítséget jelentettek az alábbi írások (az idézetek is ezekből származnak)
- Az ignáci pedagógia és a jezsuita nevelés jellemzői, Ignáci Pedagógiai Műhely (Jézus Társasága Magyarországi Rendtartománya), 2018.,
- Klein Sándor: A komplex matematikatanítási módszer pszichológiai hatásvizsgálata, Akadémiai Kiadó, 1980.,
- Klaus Mertes SJ: Felelősséget tanulni, Ignáci Pedagógiai Műhely,
- Pólya György: A gondolkodás iskolája, Akkord, 2000.,
- Varga Tamás: A matematika tanítása, Tankönyvkiadó, 1969.,
továbbá az alábbi szakértők, akik az előkészítésen túli segítségben a szakmai lektorálást végezték:
- Kiss Anna, junior Varga Tamás díjas matematikatanár, a Varga Tamás Tanítványainak Emlékalapítványa tagja, aki a XXI. századi komplex matematikaoktatás témájából doktorált,
- Török Gellért SJ, jezsuita szerzetes, a Fényi Gyula Jezsuita Gimnázium iskolalelkészi asszisztense.
———————————
Miért olyan fontos a tapasztalat? Szerinted miért „ostobaság válaszolni olyan kérdésekre, amelyeket nem értettünk meg; lehangoló olyan célért fáradozni, melyet nem is kívánunk elérni” – ahogyan Pólya György fogalmaz?
Szerintem tapasztalat nélkül még gondolat sincs, pontosabban lehet tapasztalat nélkül gondolkodni, de azt – ellenőrzés nélkül – nem lehet igazán komolyan venni. Ilyenkor mélyen van az emberben egy bizonytalanság, hogy amit mond, azt valóban érti-e, úgy van-e. Természetesen nem feltétlenül fizikai, kézzelfogható, látható tapasztalatról van csak szó, hiszen a matematikában is hamar eljutunk oda, amikor a tapasztalat gondolatokat is jelent, de olyanokat, amelyek érvényességében teljesen bízunk. A gyerekek bizonyítás-, illetve igazságfogalma rengeteget fejlődik az évek során: hosszú idő, amíg ők is úgy gondolnak egy állítás helyességére, illetve hasonló jelentésű lesz a bizalmuk benne, mint a tanáruknak.
Ezért is nagyon fontos megmutatni nekik a matematika módszerét, azaz hogy egy állítást egészen az axiómákra vissza tudunk vezetni. Középiskolások számára is elérhető az absztrakció ezen szintje (elég például az euklideszi geometria egyik axiómarendszerére gondolni): tehát hogy az axiómák a körülöttünk lévő valóság mennyiségi tapasztalása révén születnek, és (általában) nem olyan nehéz őket igaznak elfogadni. Sőt, inkább az a nehéz, hogy az axiómákból közvetlenül levezethető állításokat miért is kell bizonyítani, hiszen annyira természetesek. Az axiómák, állítások elfogadása a tapasztalat révén számukra sokkal könnyebb és természetesebb, mint elsajátítani a bizonyítások által megkövetelt precizitást. A tapasztalat a matematikában visszanyúlik az alapokig, az axiómákig. Tapasztalat nélkül nincs matematika, és nem lesznek gondolataik a matematikai feladatokban.
Mi történik a felfedezés során? Te hogyan látod „kívülről”?
Maga a felfedezés egy varázslat. Bejönnek a diákok úgy, hogy nem tudnak valamit, vagy nem tudják, hogy tudják, és úgy mennek ki, hogy magukkal visznek valami tudást. A jó előképzettséggel, képességekkel érkező diákoknak sokszor a kérdés feltevésekor már beugrik a válasz: „látják”, nem kell magyarázni. Egy nehezen tettenérhető pillanat alatt történik meg. Másoknak viszont több idő kell ehhez: körül kell járni a kérdést, beszélgetni kell velük a feladatról, a kísérletről, szóval a végzett tevékenységről. Szükségük van egyfajta kontrollra: azt csinálják-e, ami éppen a feladat, jó úton haladnak-e, a végeredményük, válaszuk tényleg a kérdésre vonatkozik-e, helyes-e. Ők ilyenkor ízlelgetnek, érik bennük a gondolat. Már kicsit változik az arcuk, a tekintetük, kezdik érezni, hogy itt van valami, csak még nem tudják megfogni. Aztán megérkezik hozzájuk is.
Vannak olyan diákjaim is, akik gyakran hangoztatják, hogy ők nem szeretik a matekot, (mondjuk a hasznosságát elfogadják szerencsére) „be vannak oltva ellene”, de ha mégis sikerül jó kérdéseket adni, és összeáll számukra a kép, akkor ők is örülni szoktak! A csillanás a szemükben egy közös öröm. Azt hiszem, azért járok matekórákra, hogy ezt a csillanást megérezzem, tanúja legyek.
A felfedezés anyaga persze sokszor nagyon nehéz, például trigonometria, logaritmus, ami elsőre nem megy: 45 perc kevés ahhoz, hogy erre mindenki elsőre ráérezzen. Ilyenkor nyugtatni, biztatni kell őket, hogy ne csüggedjenek. A következő órán pedig nézünk egy másik példát, másik vizuális reprezentációt, és szépen lassan megértik, megérik a fogalom.
Látom rajtuk a jeleket (arcukat, tekintetüket, figyelmüket, az egyre pontosabb kérdéseket), de persze kívülről nem tudom átélni a felfedezést. Viszont igazából nem is érzem magamat kívülállónak: mintha egy szállal összekapcsolódnának a gondolataink, és így a felfedezés öröme kettőnk közös öröme lesz.
Lehet egyáltalán „kívülről” szemlélni a tanulást? Úgy értem, hogy amikor tényleg tanítok, akkor közben tanulok is. Persze más a tanulás folyamatának a tárgya, és csak a későbbi reflexió során tudatosul bennem, de mintha a tanító-tanuló szerepek felcserélődése nagyon természetes velejárója lenne az együtt gondolkodásnak, beszélgetésnek.
Egyetértünk, egyáltalán nem lehet kívülről szemlélni. A tanítás-tanulás folyamata összekapcsolódik, egy egységet alkot.
30 éve tanítok, azt gondolom, hogy már mindent tudok a törtek tanításáról, de újra és újra hallok egy olyan gondolatot a diákoktól, ami még sohasem jutott eszembe. Vagy azt tanulom, hogy egy adott fogalmat, hogyan lehet a másik oldalról nézni: a megismerés folyamata – amelyen én persze már rég túl vagyok – tárul fel előttem mélyebben, így legközelebb talán pont ez segít hozzá, hogy egy másik diáknak is érthetőbb feladatot, újabb fogalomalkotó példát találjak ki.
Mindeközben rengeteget tanulok magamról.
Mondanál egy példát?
Mennyire is vagyok türelmes. Ha egy diák éppen gondolkodik, és én megzavarom azzal, hogy biztatom, megdicsérem, megkérdezem, hogy mi a gondja, akkor elronthatom az ő saját gondolkodási folyamatát. A saját türelmességemről kell tanulnom, hogy ebben a helyzetben képes legyek átadni az irányítást a gyereknek. Az ő saját pillanata legyen. Ez nekik is nehéz, hiszen arra neveltük őket, hogy majd a tanár megmondja, de a tanárnak is igen nehéz: a személyiségét hozzá kell alakítania, képessé kell válnia a hallgatásra, a csendre.
Van, amikor a segítségem éppen gátolná. Hosszú folyamat, de ezáltal is önállóságra, felelősségvállalásra kell tanítanunk őket. Gyakran teszem fel magamnak önreflexió során a kérdést: hagytam őket gondolkodni, elég türelmes voltam?
Vagy például rendbontás esetén meg tudom-e kérdezni, hogy mi a gond, mi történt. Mert sokszor az első benyomások, saját érzéseink, beidegződéseink alapján döntünk, pedig a háttérben olyan probléma van, amiről igazából senki sem tehet. Adhatunk neki egyest, szaktanári figyelmeztetést, de ettől még a probléma nem változik meg. És akkor kérdezzük meg magunkat: jogos volt a negatív értékelés? Figyeltünk a tanítványunkra valójában?
De akkor mégis miben más a tanár szerepe?
A tanár szerepe egyrészt kreatív: például jó feladatokat vigyen, a tevékenységek megfogják a diákok figyelmét. Másrészt kísérés: kívülről visszajelzéseket adni a diáknak, hogy hol tart most, mi is a célja. Ha ebben társak tudunk lenni, akkor a tekintély magától megérkezik, és ráadásul kölcsönös. Én tudom őt az erőfeszítéseiért, ötleteiért, kitartásáért, bátorságáért tisztelni, ő pedig megérezheti, hogy nekem sok erő és idő kitalálni a számára megfelelően motiváló feladatokat, és értékeli azt is, hogyan vagyok ott mellette. A nagyobb tudásunkat is tisztelik, de az már a feladatok kitűzésében is megnyilvánul: miért éppen ezt, azaz miért nem tankönyvi feladatot hoztuk az aznapi órára.
A tanár szerepe az ignáci pedagógiában is különleges: ő egy mérleg nyelve, ami nem befolyásolhatja a diák döntését. A két serpenyőbe a diák teszi a gondolatait, amelyek alapján ő, a diák fog dönteni, a tanár csak visszatükrözhet, összefoglalhat, de semmilyen, a diák döntését befolyásoló információt nem adhat. Ez pedig teljesen megegyezik Varga Tamás és Pólya György tanácsaival. Ráadásul nemcsak a matematikai fejlődésben alapvetés egy ilyen tanári jelenlét, hanem a diákok személyiségfejlődésében is meghatározó szerepet kaphat.
Pólya György tanároknak írt tízparancsolatának 9. pontja: „Ne áruld el egyszerre az egész titkodat. Hadd sejtsék meg, mielőtt még kimondod; amennyit csak lehet, találjanak ki ők belőle.” Ezt akár Varga Tamás is mondhatta volna. Ignácra is jellemző ez a hozzáállás?
Igen! Nekem mindhármójukban közös, hogy a tanárt kísérőnek tartják. Fontos szerepe van, de a középpontban a diák és a matematika kapcsolata, illetve az ember és Isten kapcsolata áll. A tanárnak, illetve a lelki kísérőnek az a feladata, hogy a diák, illetve a lelkigyakorlatozó benne maradjon a kapcsolatban, sőt mélyüljön ez a láthatatlan szál. Teret és lehetőségeket teremt.
Viszont azért van egy fontos különbség a tanórai felfedezés és egy lelkigyakorlat között: a tanárnak van titka. A tanár tud valamit, amit a diák nem, és nem árulja el neki, hogy aztán a diák maga fedezhesse fel. Ilyen értelemben viszont a lelki kísérőnek nincs titka, hiszen nem tudja és nem is tudhatja, hogy hova tart az ember és Isten személyes kapcsolata. A tananyag megismerésének kognitív folyamata sokkal jobban megismerhető és leírható – már csak azért is, mert a tananyag tárgy (tehát objektív).
Bármilyen pedagógiai konferenciára is megyek, az előadók amellett érvelnek, hogy a tanár-diák viszonynak a partnerségre kell törekednie. Az ignáci pedagógia ezen perspektívája a jövő pedagógiájának egy alappillére.
Ehhez szorosan kapcsolódó törekvés, hogy a külső motivációt egyre inkább a belső motiváció vegye át, tehát a „kell” mennyisége csökkenjen, az „érdemes” mennyisége pedig nőjön. Mit hangsúlyoz az ignáci pedagógia ennek kapcsán?
A döntés a diák kezében van. Tanárként meghatározó része a munkánknak, hogy felelősségvállalásra neveljük. A döntés folyamatában segíthetjük például azzal, hogy támogatjuk a szempontok és súlyaik tisztázásában. Azért döntsön úgy, hogy velem matekozik, mert vágyik rá. Szerencsére a legtöbb diákunk értékesnek tartja ezeket a lehetőségeket, és tudunk együtt menni előre. De van olyan, lehetséges az is, hogy most éppen nincs valakinek hozzá kedve, vagy tényleg nem látja, hogy ez jó lenne neki. Ilyenkor viszont érdemes keresni a döntés mögötti mélyebb okokat. Például egy tizenkét éves lánykánknak otthon felnőtt feladatokat kell vállalnia – hogyan várhatnám el, hogy mindig pihenten és érdeklődve érkezzen meg az én matekórámra. Ezt el kell fogadnunk, és sokszor nem a mi hatáskörünk ennek a megváltoztatása. Az órán pedig haladni kell tovább, hiszen a többiek is ott ülnek.
Nálam az működik a legjobban, amikor komolyan érezhetik rajtam, hogy hívom őket: „kérlek, tarts velem”. Nem baj, ha most nincs kedved, nem igazán érted, de hátha tudunk együtt egy kicsit előre lépni. Ehhez nagy elfogadás és szeretet szükséges – nem vagyunk rá mindig képesek tanárként. És ha egy csoportban van néhány olyan, aki akkor nem akar jönni, az tényleg nagyon megnehezíti, lassítja a haladást. Ilyenkor van, hogy egy személyes kérdés, kedves szó szükséges, de van, akivel szigorúnak kell lenni. Én ezt érzem a legszörnyűbbnek: vannak olyan családok, ahol a gyerkőcnek mindent lehet, nincsenek olyan szabályok, amit abszolút mindig be kellene tartania. Vagy a fiatal csak egyszerűen megpróbálja kidumálni magát, kibújni a felelősség alól. Velük a nehéz, és nem a szegénysorsú vagy bántalmazott gyerekekkel, mert ők nagyon sokszor hálásak a figyelemért és a szeretetért. A túlságosan megengedő családból érkezett gyerekeknél sokkal jobban, tudatosan kell figyelnem arra, hogy megtaláljam bennük az értékeket és nagy szeretettel forduljak feléjük. Próbálkozom, de fogalmam sincs, hogyan lehet őket behívni egy olyan feladatba, amihez nekik nincs kedvük. Erre szerintem nincs recept, nekem ez az igazi kihívás, olyan tevékenységeket és felépítést bevinni az órákra, ami ezeket a „szabálynélküli” gyerekeket is megfogja és partnerré teszi.
A motiváció az ignáci pedagógiában is elsősorban belső motivációt jelent, amely kialakítását a tanárnak intuícióval, improvizációval, szigorral, szeretettel, megértéssel, és elsősorban jó feladatokkal kell elérnie.
Varga Tamás írja: „Biciklizni biciklin ülve lehet megtanulni, úszni a vízben, tanítani a tanteremben, egy osztállyal szemközt. Végeredményben mindenki a maga tapasztalataiból, próbálkozásaiból tanul a legtöbbet, de nem kell, hogy mindent a maga kárán tanuljon meg.”
Felfedeztetve tanítasz, de biztos olyan is van, hogy megmondasz nekik valamit, amit maguktól nem tudtak. Hol a határ? Mi alapján döntesz? Mit jelent számodra tanárként a „kísérés”?
A legfontosabb cél tanárként, hogy őrizzük meg a titkot, a kincset: ne vegyük el a gyerekektől a megtalálás örömét. Szerintem ez az öröm ér a matematikai gondolkodás fejlődésében a legtöbbet, amikor egy felfedező megtalálja a kincset. De van időnként elakadás, van olyan, hogy lassú a folyamat. Én ekkor azt a stratégiát szoktam alkalmazni – amit Varga Tamás és Pólya György is ajánl –, hogy összefoglalom a diákok addigi gondolatait. Attól, hogy tőlem hallják azt, amit ők már elmondtak, eszükbe juthat egy új gondolat. Bizonyos helyzetekben a gondolataikat más, a probléma szempontjából célravezetőbb sorrendben, jobban hangsúlyozva mondom el. Már a sorrend is sugall valamit, amit észrevehetnek, kimondhatnak. Ha továbbra sincs előrelépés, igyekszem olyan kérdéseket feltenni, amelyek finoman vezethetik őket: olyan részletre irányítani ezáltal a figyelmüket, amelyet már felfedeztek, de még nem vizsgáltak meg elég alaposan. Ha még ez sem működik, akkor több lehetőségünk is van arra, hogy ne áruljuk el a titkot, mégis közelebb kerüljenek a gyerekek a helyes gondolathoz. Sokat segít, ha az adott problémát átfogalmazom, más szavakkal kérdezek, de néha csak a feladatban szereplő dolgot kell lecserélni: mondjuk narancslével nem igazán boldogulnak, de ha almát, pizzát, mogyorót vagy gyerekeket szerepeltetünk ugyanabban a problémában, könnyebben elképzelik a kapcsolatokat. Ha pedig az elakadásból nem mozdulnak így sem, akkor a feladathoz kapcsolódó, már tanult, megértett egyszerűbb problémát eleveníthetünk fel, ez szinte mindig meghozza a helyes következtetéseket.
Olyan, hogy egy új gondolatot vagy egy fontos következtetést teljes egészében én mondjak ki, nem is emlékszem, mikor volt utoljára. Erre nagyon-nagyon próbálok figyelni, még időhiány, nehezebb feladat, vagy fáradtság esetén is. Az előfordul, hogy amikor egy fogalmat már elsajátítottunk, de gyakorlás közben valaki ellenőrzésképpen engem kérdez meg a megoldása helyességéről, akkor, ha a „szerinted helyes?” kérdésre az „igen, de nem vagyok benne biztos” válasz érkezik, úgy megnyugtatom, hogy valóban helyes. Pozitív megerősítést így szoktam adni, de csak nagyon ritkán, hiszen Varga Tamás módszerben fontos az önellenőrzés. Új gondolatot nagyon-nagyon ritkán mondok el; persze egy-egy elnevezést – például a logaritmus, exponenciális stb. szavakat – esetleg igen.
Összefoglalnád, hogy számodra mi az ignáci pedagógia lényege?
Réges rég, még Forrai Tamás – aki annak idején felvett az iskolába – emlegetett gyakran egy gondolatot: úton lenni. Az úton lét központi eleme az ignáci pedagógiának, hiszen a jezsuiták a nevüket (Jézus Társasága) is – így identitásuk magját – úgy határozták meg, hogy ők Jézust a társaként kísérik az útján. Emberként úton vagyunk a születésünktől a halálunkig. Tudjuk, honnan indultunk, de néha nem ismerjük még, hogy hol tartunk, vagy milyen feladatok várnak ránk. Szeretnénk tudni, hogy hova tartunk: van célunk, de még nem vagyunk ott. Számomra ez azt jelenti, hogy minden nap, minden órában tehetek azért egy kis lépést, hogy ezt a célt elérjem. Ezek a célok a hatvan évet közelítve már nem olyan óriásiak. Fiatalon persze voltak nagy kaliberű céljaim, de most már inkább az a fontos, hogy megtartsak egy jó órát a nyolcadikban, megfogjam a diákjaim figyelmét, örömet okozzak a hatodikos osztályomnak mondjuk egy szuper sulin kívüli programmal. Ahogyan öregszem, ezek a célok egyre apróbbak, és közben egyre közvetlenebbek. Azt gondolom, hogy ez a sok-sok apró célkitűzés jelenti azt, hogy úton vagyok.
A gyerekek is úton vannak – tanárként kísérni kell őket, elősegíteni, hogy a döntéseiket jó szempontok alapján hozzák meg. Aztán képesek legyenek kívülről magukra nézni: mik a nehézségeik, miben lehetne segítséget kérni, miben sikerül az előrehaladás. Az iskolában minden délben van arra lehetőség, hogy öt percben áttekintsük ezeket a kérdéseket. Ezt persze meg kell nekik tanítani, de nekünk tanároknak is folyamatosan tanulnunk kell. Kezdetben duzzogtam, hogy elvesz öt értékes percet az órából, aztán megtapasztaltam, megértettem ennek az önreflexiónak a lényegét és mélységét, majd napi rutinná vált, sőt minden óra után automatikusan figyelem az érzéseimet: mi is történt az órán, mi sikerült, mire kell majd jobban figyelnem.
Az útonlevésnek nagyon fontos része a reflexió, mert akkor tudjuk, hogy mi az, amit már megtettünk, akkor tudunk pontosabban fókuszálni a célunkra, a nehézségeket felismerni, valamiben változni. Ez megjelenik a diákok életében az órákon is: dolgozatok, felelések, tanárral történő beszélgetések, szóbeli értékelés, visszajelzés. Nagyon természetesen módon benne van az élethosszig tartó tanulás igényének felélesztése a gyerekek életében.
A matematika sem az érettségiig tart, hiszen az általa csiszolt gondolkodásunkat egész életünkben használni fogjuk: a matematika tanulásában is mindig úton leszünk.
Az interjút Paulovics Zoltán készítette.
