Mi is...a Monge–Kantorovics probléma?

Mi is...a Monge–Kantorovics probléma?

A Monge–Kantorovics probléma

Az előző évtizedben két olyan matematikust is Fields-éremmel díjaztak (Cédric Villani 2010, Alessio Figalli 2018), akiknek munkájában az optimális transzport probléma jelentős szerepet játszott. A probléma születését Gaspard Monge 1781-ben publikált [4] művéhez, (egyik) újászületését pedig Leonyid Vitaljevics Kantorovics 1942-es [3] dolgozatához kötik.

Ebben a rövid írásban megpróbálom bemutatni a transzport probléma Monge- és Kantorovics-féle megfogalmazásait. A probléma történetéről, magáról a problémáról, és annak alkalmazásairól az érdeklődő olvasó többet is megtudhat Cédric Villani [7,8] és Filippo Santambrogio könyveiből [6].

1. A transzport probléma Monge-féle megfogalmazása

Gaspard Monge (1746–1818) hatalmas életművének csak egy apró szeletét képezik az optimális transzporttal kapcsolatos eredmények. Őt tekintik többek közt az ábrázoló geometria megteremtőjének, a differenciálgeometria egyik atyjának, de részt vett a méterrendszer kidolgozásában, sőt végzett fizikai és kémiai kutatásokat is. Tudományos eredményeit a hadviselésben is kamatoztatta, őt bízták meg annak megtervezésével, hogy hogyan érdemes ágyúkat elhelyezni egy erődítményben, később könyvet is írt az ágyúkészítés tudományáról [5]. Ide kívánkozik egy megjegyzés a Monge–Kantorovics probléma másik érintettjéről. Leningrád ostromakor a befagyott Ladoga-tó kiemelt stratégiai fontosságú volt a Vörös Hadsereg számára, ugyanis azon keresztül vezetett az étel és muníció szállítására alkalmas út. Kantorovics feladata volt, hogy kiszámolja a kocsik optimális távolságát és terhelhetőségét a jég vastagsága és a hőmérséklet függvényében [2].

Visszatérve Monge tudományos munkásságára: az optimális transzport probléma motivációját is egy meglehetősen egyszerű (illetve egyszerűnek hangzó) kérdés szolgáltatta. Nagyon elnagyoltan megfogalmazva: ha adott egy halom föld, és egy azzal megegyező térfogatú gödör, akkor hogyan tervezük meg a gödör feltöltését, ha azt a lehető legkevesebb munkával szeretnénk kivitelezni?

MK 1

A problémát Monge geometriai módszerekkel próbálta megfogni: azt vizsgálta, hogy a tömeget milyen pályák (görbék) mentén kell mozgatni. Mielőtt kísérletet tennénk a feladat formalizálására, nézzünk meg egy hasonló, de ránézésre legalábbis jóval egyszerűbb, kérdést. Tegyük fel, hogy van egy teljes páros gráfunk $ k$ elemű csúcsosztályokkal (jelölje ezeket $ X=\{x_1,\dots,x_k\}$ és $ Y=\{y_1,\dots,y_k\}$). Tegyük fel továbbá, hogy adott egy $ c\colon X\times Y\to\mathbb{R}$ költségfüggvény. Gondoljunk erre úgy, hogy $ c(x_i,y_j)$ nem más, mint az $ x_i$ pont $ y_j$-vel való párosításának költsége. Kérdés: az összes teljes párosítás közül melyik a minimális összköltségű? Világos, hogy minden teljes párosítás megadható egy $ T\colon X\to Y$ bijekcióval, a $ T$ párosítás összköltsége pedig nem más, mint $ \sum_{i=1}^k c(x_i,T(x_i))$. Tehát keressük azt a $ T$ leképezést, ami ezt az összeget minimalizálja. Létezik ilyen párosítás, hiszen egy véges számhalmaz legkisebb elemét keressük.

A párosítási feladat semmivel sem lesz bonyolultabb, ha átfogalmazzuk szállítási feladattá: minden $ x_i$ raktárnak van $ \frac{1}{k}$ súlyú kiszállítandó rakománya, mindegyik $ y_j$ bolt éppen $ \frac{1}{k}$ súlyú rakományra adott le rendelést, a $ c(x_i,y_j)$ mennyiség pedig az egyszerűség kedvért legyen most az $ x_i$ raktár és $ y_j$ bolt távolsága. Ekkor a szállítás során elvégzett munka nem más, mint $ \sum_{i=1}^k c(x_i,T(x_i))\cdot\frac{1}{k}$. Az azonban komoly nehezítés lenne, ha az egységnyi súlyt nem egyforma darabokra vágnánk szét mindkét oldalon, hanem különböző $ m(x_1),\dots,m(x_k)$ és $ n(y_1),\dots,n(y_k)$ darabokra. Egy $ T\colon X\to Y$ bijekció ebben az esetben csak akkor adna meg jó szállítást, ha a $ T(x_i)=y_j$ egyenlőség maga után vonná, hogy $ m(x_i)=n(y_j)$, vagy másképpen felírva

$\displaystyle m(T^{-1}(y_j))=n(y_j)$   minden$\displaystyle ~y_j\in\{y_1,\dots,y_k\}~$esetén$\displaystyle .$ (1)

Egy ilyen $ T$ szállítás költsége az előzőek mintájára

$\displaystyle C(T):=\sum_{i=1}^k c(x_i,T(x_i))\cdot m(x_i).$ (2)

Mivel véges sok ponttal dolgoztunk, és így csak véges sok jó $ T$ leképezés lehet, ezért az

$\displaystyle \inf_{m\circ T^{-1}=n} \sum_{i=1}^k c(x_i,T(x_i))\cdot m(x_i)$ (3)

infimum valójában egy minimum. Tehát ha van legalább egy jó szállítás, akkor van optimális is. Vegyük észre, hogy amit itt látunk, az Monge problémájának egy diszkretizált változata: a földkupac és a betemetendő gödör helyett két diszkrét tömegeloszlás van, és keressük azt a $ T$ leképezést, ami az egyiket minimális költséggel transzportálja át a másikba. Már ezen a diszkrét eseten jól látszik két probléma

a)  Nem feltétlenül van megoldása a Monge által kitűzött problémának, hiszen az alábbi ábrán

 

MK 2

az (1) feltétel egyetlen olyan leképezésre sem teljesülhet, ami a kék pontokat a piros pontokra képezi.

b) Ha van megoldás, nem feltétlenül egyértelmű.

MK 3

Mivel a piros és kék pontok közötti távolságok egyenlőek, és a mozgatni kívánt súlyok egyenletesen vannak szétosztva, ezért a szaggatott nyilak mentén két különböző optimális transzportot látunk.

 

Nézzük meg, hogy hogyan lehet felírni az általános problémát. A metrikus tér amiben dolgozunk az $ n$-dimenziós Euklidészi tér a szokásos távolsággal, a költségfüggvény pedig egy nemnegatív értékű folytonos $ c\colon \mathbb{R}^n\times\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ függvény. A kupacnak és a gödörnek pedig egy-egy Borel valószínűségi mérték felel meg. (Legyen a kupac eloszlásának megfelelő mérték $ \mu$, a gödöré $ \nu$.) A transzport leképezésre vonatkozó (1) feltétel megfelelője az általános esetben az, hogy $ T\colon \mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$ egy olyan mérhető függvény kell legyen, amelyre $ \mu(T^{-1}(A))=\nu(A)$ teljesül minden $ A\subseteq \mathbb{R}^n$ Borel halmaz esetén.

Ilyenkor azt mondjuk, hogy a $ \nu$ mérték a $ \mu$-nek $ T$-szerinti előretoltja, jelölésben: $ T_{\char93 }\mu=\nu$.

MK 4

Ezek után már könnyű látni, hogy a (2) formula általános megfelelője nem más, mint

$\displaystyle C(T):= \int_{\mathbb{R}^n} c(x,T(x))~\operatorname{d}\mu(x).
$

 

Szemben a fenti (3) diszkrét esettel itt semmilyen egyszerű gondolatmenet nem garantálja, hogy ha egyáltalán van transzport leképezés (azaz a $ C$ funkcionál értelmezési tartománya nem üres), akkor az

$\displaystyle \inf_{T_{\char93 }\mu=\nu}C(T)
$

infimum valójában egy minimum, tehát hogy a $ C$ funkcionál felveszi a minimumát. Olyannyira nem garantálja ezt semmilyen egyszerű gondolatmenet, hogy több mint 200 évet kellett várni a következő szép eredményre: ha a $ \mu$ mérték abszolút folytonos az $ n$-dimenziós Lebesgue mértékre vonatkozóan, akkor létezik optimális transzport leképezés [1].

2. A transzport probléma Kantorovics-féle megfogalmazása

A Monge probléma egyik nehézsége a „kompaktság hiányában” rejlik, azaz hogy ha adott is a $ \mu$-t $ \nu$-be mozgató transzport leképezéseknek egy $ (T_n)_{n\in\mathbb{N}}$ sorozata, nem ismert olyan topológia, amely szerint $ (T_n)_{n\in\mathbb{N}}$-ből kiválasztható konvergens részsorozat. Több mint 150 évvel később Leonyid Kantorovicsnak, a lineáris programozás egyik szülőatyjának sikerült áthidalnia ezt a problémát. A felfedezés fontosságát és hasznosságát jól mutatja, hogy 1975-ben Tjalling Koopmansszal megosztva közgazdasági Nobel-díjjal tüntették ki az erőforrások optimális elosztásának elméletéhez való hozzájárulásáért.

A transzport probléma új, relaxált megfogalmazásánál kibővítette a $ C$ funkcionál értelmezési tartományát, és nem csak transzport leképezéseket, hanem úgynevezett transzport terveket is megengedett. Nézzünk egy olyan példát, amit a Monge-féle megfogalmazás szerint nem lehet megoldani.

MK 5

Világos, hogy nincs olyan $ T\colon \{A,B,C\}\to\{X,Y,Z\}$ leképezés, amelyik teljesíti az (1) feltételt. Ha meg volna engedve, hogy a kék körökön lévő súlyokat feldaraboljuk, és azokat különböző piros négyzetekbe szállítsuk, az jelentősen megkönnyíteni a dolgunkat. Az alábbi táblázat egy ilyen felosztást mutat.

   X   Y  Z 
 A       
 B   0    0
 C   0  0  

 

Ha csak egy sort nézünk, azt látjuk, hogy az adott kék körön lévő súlyt hogyan daraboljuk fel, és melyik darabot melyik piros négyzetbe küldjük. Ha csak egy oszlopot nézünk, azt látjuk, hogy az adott piros négyzetbe melyik kék körből mennyi súly érkezik. Adott $ c$ költségfüggvény mellett ennek a transzport tervnek a költsége

$\displaystyle c(A,X)\cdot\frac{1}{8}+c(A,Y)\cdot\frac{1}{8}+c(A,Z)\cdot\frac{1}{8}+c(B,Y)\cdot\frac{3}{8}+c(C,Z)\cdot\frac{2}{8}.
$

A táblázatra kicsit másképp ránézve egy valószínűségi eloszlást látunk az $ \{A,B,C\}\times\{X,Y,Z\}$ halmazon, amelynek egyik peremeloszlása épp a kék eloszlás, a másik pedig a piros eloszlás. Általában persze ilyen eloszlásból nem csak egy van, a fenti szállítási feladatot is sokféleképp meg lehet oldani. A feladat a legkisebb költségű ilyan transzport terv megtalálása.

Nézzük hogyan írható át a Kantorovics-féle megfogalmazás az általános esetre. Legyen $ \mu$ és $ \nu$ két Borel valószínűségi mérték $ \mathbb{R}^n$-en, az ezen mértékekhez tartozó transzport tervek halmazát jelölje $ C(\mu,\nu)$. Ezek tehát azok a $ \pi$ mértékek a szorzat téren, amelyeknek marginálisai $ \mu$ és $ \nu$

$\displaystyle \pi(A\times X)=\mu(A)\qquad\pi(X\times A)=\nu(A).
$

Fontos megjegyezni, hogy a $ C(\mu,\nu)$ halmaz sosem üres, hiszen $ \mu$ és $ \nu$ szorzatmértéke benne van. Egy $ \pi\in C(\mu,\nu)$ transzport terv költsége

$\displaystyle C(\pi)=\int_{X\times X}c(x,y)~\pi(dx,dy),
$

a feladatunk pedig a $ C\colon C(\mu,\nu)\to\mathbb{R}$ funkcionál minimalizálása. Azaz keressük azt a $ \widehat{\pi}$ transzport leképezést, amelyre

$\displaystyle C(\widehat{\pi})=\min_{\pi\in C(\mu,\nu)}C(\pi).
$

Szemben a Monge-féle megfogalmazással, ez a minimalizálási feladat mindig megoldható. (Legalábbis abban a speciális esetben, amit itt tárgyalunk, tehát amikor az alaptér $ \mathbb{R}^n$, a költségfüggvény pedig egy folytonos nemnegatív függvény.) Ennek az az oka, hogy a transzport tervek tere sokkal jobb tulajdonságokkal rendelkezik, mint a transzport leképezéseké.

Nagyon vázlatosan a következőről van szó: az egyszerűség kedvéért tegyük fel, hogy van legalább egy $ \pi$, amelyre $ C(\pi)$ nem végtelen. Ekkor az

$\displaystyle m:=\inf_{\pi\in C(\mu,\nu)}C(\pi)
$

infimum egy nemnegatív valós szám, így van olyan $ C(\mu,\nu)$-ben haladó $ (\pi_n)_{n\in\mathbb{N}}$ sorozat, amelyre $ C(\pi_n)\to m.$ Azt kell megmutatunk, hogy maga a $ (\pi_n)_{n\in\mathbb{N}}$ sorozat valamilyen értelemben konvergál egy $ C(\mu,\nu)$-beli elemhez.

Ehhez szükségünk van a következő fogalomra: valószínűségi mértékek egy $ \mathcal{M}$ mértékcsaládját feszesnek nevezzük, ha minden $ \varepsilon>0$ számhoz van olyan $ K_{\varepsilon}$ kompakt halmaz, hogy minden $ \eta\in\mathcal{M}$ esetén $ \eta(K_{\varepsilon})\geq 1-\varepsilon$.

Megmutatjuk, hogy a $ (\pi_n)_{n\in\mathbb{N}}$ sorozat (mint mértékcsalád) feszes. Tudjuk, hogy a $ \pi_n$ mértékek marginálisai $ \mu$ és $ \nu$. Azt könnyű belátni, hogy minden $ \varepsilon>0$-hoz léteznek olyan $ K_{\mu,\varepsilon}$ és $ K_{\nu,\varepsilon}$ kompakt halmazok, amelyekre $ \mu(K_{\mu,\varepsilon}) \geq 1-\frac{\varepsilon}{2}$ és $ \nu(K_{\nu,\varepsilon})\geq 1-\frac{\varepsilon}{2}$. Az ezekből képzett $ K_{\varepsilon}:=K_{\mu,\varepsilon}\times K_{\nu,\varepsilon}$ kompakt halmazok pedig garantálják $ (\pi_n)_{n\in\mathbb{N}}$ feszességét. Ezen a ponton használhatjuk Prokhorov híres tételét, nevezetesen hogy a feszesség miatt a sorozatból kiválasztható gyengén konvergens részsorozat. (Emlékeztetünk, hogy $ \eta_n$ gyengén konvergál $ \eta$-hoz, ha minden folytonos korlátos függvény $ \eta_n$ szerinti integráljaiból kapott sorozat konvergál a függvény $ \eta$ szerinti integráljához.) Jelölje a konvergens részsorozat limeszét $ \widehat{\pi}$. Könnyen igazolható, hogy $ \widehat{\pi}\in C(\mu,\nu)$. A bizonyítás befejezéséhez elég megmutatni, hogy

$\displaystyle \liminf_{n\to\infty}C(\pi_n)\geq C(\widehat{\pi}).
$

Ha a $ c$ költségfüggvény korlátos és folytonos, akkor ez a gyenge konvergencia definíciójából és a $ \widehat{\pi}$ választásából azonnal következik, ha nem, akkor egy standard határátmenetet használó okoskodással vissza lehet vezetni a problémát a folytonos korlátos esetre.

Ezzel vázlatosan megmutattuk, hogy az általunk vizsgált esetben a Kantorovich-féle probléma megoldható. A fenti okoskodás lépései akkor is működtek volna, ha $ \mathbb{R}^n$ helyett egy szeparábilis teljes metrikus teret tekintettünk volna, a $ c$ költségfüggvényről pedig alulról félig folytonosságot tettünk volna fel.

A cikket egy egyszerű észrevétellel zárjuk, amely kapcsolatot teremt a probléma két megfogalmazása között. Tegyük fel először, hogy $ T$ egy transzport leképezés, azaz $ T_\char93 \mu=\nu$, és tekintsük az $ (\operatorname{Id},T)(x,y):=(x,T(y))$ hozzárendeléssel megadott $ (\operatorname{Id},T)\colon \mathbb{R}^n\times\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ függvényt.

Ekkor $ \pi:=(\operatorname{Id},T)_\char93 \mu\in C(\mu,\nu)$ és $ C(\pi)=C(T)$, és az $ (\operatorname{Id},T)_\char93 \mu$ mérték a $ T$ grafikonjára van koncentrálva. Megfordítva, ha $ \pi\in C(\mu,\nu)$ egy olyan mérték, amely egy függvény grafikonjára van koncentrálva, akkor van olyan $ T$ transzport leképezés, amelyre $ (\operatorname{Id},T)_\char93 \mu=\pi$.

A cikk az ITM és az NKFIH „ÚNKP-19-4-BGE-1” kódszámú Új Nemzeti Kiválóság Programjának támogatásával készül.

Irodalomjegyzék

[1] L. C. Evans, W. Gangbo, Differential Equations Methods for the Monge–Kantorovich Mass Transfer Problem, Memoirs of the American Mathematical Society No. 137, 1999.
[2] B. Gustafsson, Scientific Computing: A Historical Perspective, Texts in Computational Science and Engineering, Springer, 2018.
[3] L. Kantorovich, On translation of mass, C.R. Doklady. Acad Sci USSR. 1942;37 199–201.
[4] G. Monge, Mémoire sur la théorie des déblais et des remblais. De l’Imprimerie Royale; 1781.
[5] G. Monge, Description de l'art de fabriquer des canons, Éditeur: Imprimerie du comité de salut publique, Paris, Publication: an 2 de la république francaise (1793–1794).
[6] F. Santambrogio, Optimal transport for applied mathematicians. Birkäuser Springer, Basel, 2015.
[7] C. Villani, Topics in Optimal Transportation. American Mathematical Society, 2003.
[8] C. Villani, Optimal Transport: Old and New, Volume 338. Springer Verlag.

Titkos Tamás

Rényi Alfréd Matematikai Kutatóintézet
és Budapesti Gazdasági Egyetem

 

 

 

 

 

15. szám 2020. március

Még több cikk

Az Érintő 2020-as első számának megjelenését március 14-ére időzítettük. Ezen a napon van ugyanis a Matematika Világnapja! 2020-ban ez az első ilyen hivatalos ünnep, amelyet a Nemzetközi  Matematikai Unió javaslatára 2019. novemberében fogadott el az UNESCO. Az első, úgynevezett „pi-nap” 1988. márc. 14-én volt: a dátum, a 3.14 a ℼ két tizedes jegyre kerekítve. Persze a magyar matematikusok már évtizedekkel korábban is remek pi-verseket írtak. Tovább...

A Szegedi Tudományegyetem Bolyai Intézetének hat matematikusa – Boldog Péter, Tekeli Tamás, Vizi Zsolt, Dénes Attila, Bartha Ferenc és Röst Gergely – azt modellezte, hogy az egyes országokban mekkora a veszélye egy Kínán kívüli járványkitörésnek. A matematikai modellek alkalmazása igen hatékony módszer lehet a járványok elleni küzdelemben. Segítségükkel pontosabb becsléseket adhatunk a COVID-19 járvány fő paramétereire – mint az inkubációs időszak és a fertőző időszak hossza, vagy a járvány reprodukciós száma –, előre jelezhetjük a járvány jövőbeli terjedését, kiértékelhetjük az eddigi intézkedések hatását, esetleg új intézkedéseket javasolhatunk. Tovább…

A π-ről már a régi görögök is tudtak: bármely két kör hasonló, ezért bármely kör kerületének és átmérőjének aránya ugyanannyi. Arkhimédész beírt és körülírt szabályos sokszögekkel próbálta megközelíteni az egységnyi átmérőjű kör kerületét. Ám a π, bár görög betű, nem az ógörögöktől, de még csak nem is az ókorban kapta a nevét. Írásos feljegyzések szerint William Jones walesi matematikus használta először a π-t a kör kerületének (periféria) és átmérőjének arányára egy 1706-ban megjelent munkájában. Ezt a jelölést vette át Leonhard Euler svájci matematikus az 1730-as években, és innen terjedt el a világon. Fried Katalin gyűjtött össze néhány érdekes, hasznos tudnivalót. Tovább...

Az Úton-módon sorozat második részében Szoldatics József ismét egy geometria példát mutat meg, és mindazt, ami róla az eszébe jutott... A 2019 évi Nemzetközi Magyar Matematikaverseny egyik, 9. osztályosoknak szóló feladatát Erdős Gábor (Batthyány Lajos Gimnázium, Nagykanizsa) javasolta. A feladatra matematika tanárok egy csoportja 20 elemi megoldást adott. Ezek közül a közölt hét megoldás mindegyike a maga nemében szép, vagy valami szép tulajdonságot használ. Tovább...

Hogyan képesek megvédeni modern társadalmunkat a számok? Hogyan lehetséges az, hogy technikai civilizációnk léte vagy nem léte múlik olyan dolgokon, amelyek csak a képzeletünkben léteznek? Ilyen kérdéseken gondolkodik Moldvai Dávid, aki egy azok közül, akik szerint a matematikusok világa meglehetősen elvont és furcsa. A „kívülálló”, akit az információelmélet és a kriptográfia érdekel, elindította a youproof.hu blogot. Olvassák, érdemes! Tovább…

A szerző, B. A. Korgyemszkij (1907–1999) az orosz nyelvű matematikai ismeretterjesztés legfontosabb alakja volt. Nem ez az első könyve magyarul sem, például 1962-ben jelent meg tőle a Matematikai fejtörők. Az ismertetendő könyv viszont az utolsó, amit írt. A feladatok kis történetek formájában jelennek meg, amelyekben az orosz népmesék és szépirodalom számos alakjával találkozunk. Rovatszerkesztőnk, Tóth János nosztalgiával és iróniával fűszerezett kedvcsinálója következik. Tovább…

Harcos Gergelyt már óvodásként is különösen érdekelték a számok, amiket egy ösvénynek tekintett. Középiskolás korában nyáron élvezettel oldott meg egyre több és több feladatot a Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapokból (egyetemi évei végén pedig már a matematika szerkesztőbizottság tagjaként dolgozott). 10 évet töltött Amerikában matematikus kutatóként, majd 2006-ban települt vissza családjával Magyarországra. Tudományos tanácsadó a Rényi Alfréd Matematikai Kutatóintézetben.

Orosz Gyula diákjai a szakkörön a 9. osztály egyik legkönnyebb szerkesztési feladatából kiindulva lépésenként eljutnak egy jóval nehezebb problémához: Adott egy egyenes, egy külső P pont és egy O középpontú kör. Tükrözzük a P pontot az egyenesre úgy, hogy további kört már nem rajzolhatunk! Azaz a szerkesztéshez csak egyetlen kört, azon túl pedig csak vonalzót használhatunk. Az eszközkorlátozott szerkesztések témaköre önállóan is érdekes. Általában nem igényel mélyebb előismereteket, ezért a tanulók kedvelni szokták, a dinamikus geometriai szoftverekkel pedig maga a szerkesztés technikai végrehajtása sem túl fáradságos. Tovább...

Daniel Tammet: Számokban létezünk című könyve már szerepelt az Érintő előző számában, most egy teljesen más recenziót olvashat róla az érdeklődő, az előzőt egy gyógypedagógus írta, ezt pedig egy matematikus, Ruzsa Imre. Ezért neki egészen más dolgok jutnak az eszébe ugyanarról a műről. Véleménye szerint: „A könyv műfaja: vegyesfelvágott; szerző olvas mindenfélét, erről mindenféle eszébe jut, és ezeket leírja. Sokfélét összeolvas és élénken jár a fantaziája, úgyhogy a könyv általaban szórakoztató.” Tovább...

Füredi Zoltán minden évben nyert az országos középiskolai versenyeken, de a tehetség mellett a sikerhez az is hozzájárult, hogy előre kiolvasta a speciális matematika tagozat négy évfolyamának tankönyveit, és legalább húszezer feladatot megoldott. Évfolyamának egyik legjobb matematikusa, aki kívülről tudta József Attila verseit. Több mint 20 évet töltött félig az Amerikai Egyesült Államok különböző egyetemein, félig a Rényi Alfréd Matematikai Kutatóintézetben. Ma a kombinatorika nemzetközi hírű kutatóprofesszora.

A Wolfram nyelv (archaikusan: Mathematica) többször is szerepelt már folyóiratunk hasábjain, de mivel nem elégszer, ezért most Tóth János ismertet néhány aktuális érdekességet folytatva a programozásról szóló előző írását. Amint bizonyára mindenki jól emlékszik, ott alapvető ismeretekről (a Map és az Apply függvényről) volt szó, itt viszont a másik végletről. Egészen összetett feladatok ellátására képes függvényekről.  (Képünk forrása: Computational intelligence, wolframalpha.com.) Tovább...

2019 decemberében a Szegedi Tudományegyetem Bolyai Intézetének vendége volt Philip Maini, az Oxfordi Egyetem professzora, a matematika biológiai alkalmazásainak világszerte egyik legnevesebb kutatója. Érdekes előadásáról, amelyet A biológiai és kémiai önszerveződés matematikája címmel tartott a Bolyai Intézet hagyományos karácsonyi szemináriumán, Dénes Attila számol be. Tovább…

A fejlett országokban is megfigyelhető az az aggasztó jelenség, hogy csökken a diákok érdeklődése a természettudományok, a technológia, a műszaki tudományok iránt, miközben egyre nagyobb szükség van ezeken a területeken széles látókörrel, komplex problémamegoldó képességgel és nagyfokú flexibilitással  rendelkező szakemberekre. A BME Természettudományi Kara Science Camp néven 2016. óta szervez ingyenes természettudományos tábort hazai és határon túli középiskolás diákoknak. Lángné Lázi Márta számol be az eddigi tapasztalatokról. Tovább…

Az előző évtizedben két olyan matematikust is Fields-éremmel díjaztak (Cédric Villani 2010, Alessio Figalli 2018), akiknek munkájában az optimális transzport probléma jelentős szerepet játszott. A probléma születését Gaspard Monge 1781-ben publikált művéhez, (egyik) újászületését pedig Leonyid Vitaljevics Kantorovics 1942-es dolgozatához kötik. (Ő látható címképünkön, Petrov-Vodkin 1938-ban készült festményén.) Ebben a rövid írásban Titkos Tamás bemutatja a transzport probléma Monge- és Kantorovics-féle megfogalmazásait. Tovább...

A Bolyai János Matematikai Társulat 2019-es díjainak kiosztására, valamint a Kürschák József Matematikai Tanulóverseny és a Schweitzer Miklós Matematikai Emlékverseny eredményhirdetésére december 11-én került sor. A Szele Tibor Emlékérem, a Grünwald Géza Emlékérem, a Farkas Gyula Emlékdíj és a Rényi Kató Emlékdíj szabályzata, megemlékezve a névadókról is, a Társulat honlapján itt olvasható. Híradásunk ismerteti a díjazottakat, akiknek nevére kattintva olvashatják méltatásukat.Tovább...

A matematika és fizika tudománya évszázadok óta kart karba öltve fejlődik. A fizika a matematika nyelvén fogalmazza meg törvényeit, igényei pedig hatással vannak a matematika fejlődésére. Az iskolában azonban találkozunk azzal a problémával, hogy fizikaórán már alkalmazás szinten kellene használni a tanulónak olyan matematikai összefüggéseket, amelyekkel a matematikaórán még alig, vagy egyáltalán nem találkozott. A fizikatanár sokszor rákényszerül arra, hogy bevezesse a hiányzó matematikai ismereteket. Bakosné Novák Andrea saját tapasztalait is átadja, bemutatva, milyen lehetőségeket ad hozzá a matematika tanításához a fizika. Tovább...

Jim Holt legújabb könyve nemrég jelent meg Magyarországon Jakabffy Éva és Jakabffy Imre fordításában, a Typotex Kiadó gondozásában. Az ismertetett témák tág területen kalandoznak: találkozhatunk a Riemann-sejtéssel és a négyszíntétellel, húrelmélettel és az univerzum végére vonatkozó elméletekkel, olvashatunk Ada Byron és a számítógéptudomány kapcsolatáról, vagy éppen az idő természetéről és az eugenetikáról. Lángi Zsolt recenziója itt olvasható. Tovább...

2018. júniusi számunkban értesülhettek a 2. Formális reakciókinetikai szimpóziumról. 2020. január 9.-én és 10.-én sor került a harmadikra is a BME H épületében, evvel a címmel: 3rd Workshop on Formal Reaction Kinetics and Related Areas. A szűk értelemben vett elmélet mellett tehát idén helyet kaphattak járványtani, génszabályozási vagy rákkutatási témák is. Bővült a résztvevők és az érdeklődő intézmények, országok száma. A miniszimpóziumról Tóth János minibeszámolója következik. (Bevezető képünket a molekulák ritka és sűrű ütközéseiről Sadi Carnot készítette.)Tovább…