A π az idők viharában

A π az idők viharában

A π az idők viharában

Már a régi görögök is...

A $ \pi$-ről már a régi görögök is tudtak: bármely két kör hasonló, ezért bármely kör kerületének és átmérőjének aránya ugyanannyi.

Arkhimédész beírt és körülírt szabályos sokszögekkel próbálta megközelíteni az egységnyi átmérőjű kör kerületét. Szabályos hatszögekből kiindulva és lépésenként kétszerezve a sokszögek csúcsai számát eljuthatunk a körülírt és a beírt szabályos 96-szög kerületéhez, amelyből $ 3\frac{10}{71}<\pi<3\frac{1}{7}$.

A babilóniaiak $ \frac{25}{8}=3{,}125$-nek, a Rhind-papirusz tanúsága szerint pedig az egyiptomiak $ \frac{256}{81}\approx 3{,}1605$-nek vették a $ \pi$-t.

Ám a $ \pi$, bár görög betű, nem az ógörögöktől, de még csak nem is az ókorban kapta a nevét.

Írásos feljegyzések szerint William Jones walesi matematikus használta először a $ \pi$-t a kör kerületének (periféria) és átmérőjének arányára egy 1706-ban megjelent munkájában. Ezt a jelölést vette át Leonhard Euler svájci matematikus az 1730-as években, és innen terjedt el a világon.

A π irracionális, sőt!

Sokáig kérdés volt, hogy egyáltalán racionális szám-e a $ \pi$.

Akkoriban két egész szám hányadosaként felírva kaptak alkalmas közelítéseket, például $ \frac{22}{7}=3{,}142857\ldots$, $ \frac{355}{113}=3{,}14159292\ldots$, de – bárhogy kerestek – nem találtak megfelelő racionális alakot rá.

Keresték a $ \pi$ lánctört alakját is. Amennyiben egy tört nagyobb 1-nél, akkor vegyes tört alakban felírva kisebb számokkal tudjuk felírni. Például $ \frac{47}{13}=3\frac{8}{13}=3+\frac{8}{13}$. Ugyanakkor a $ \frac{8}{13}$ úgy írható, hogy $ \cfrac{1}{\cfrac{13}{8}}$, így a nevezőben szereplő törtről ismét leválasztható az egész része: $ \frac{13}{8}=1+\frac{5}{8}$, azaz $ \frac{47}{13}=3+\cfrac{1}{1+\cfrac{5}{8}}$ és így tovább, végül ezt a lánctörtet kapjuk:

$\displaystyle \frac{47}{13}=3+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{2}}}}}.
$

 

A lánctörtet szokás úgy jelölni, hogy szögletes zárójelek között felsoroljuk az egész részeket, az első után pontosvesszőt teszünk, a többi után vesszőt. Esetünkben: $ \frac{47}{13}=[3;1,1,1,1,2]$. A számelméletben jártasabbak felismerhetik az eljárásban az euklideszi algoritmust. Minden racionális szám lánctört alakja véges, és minden véges lánctört racionális szám.

Az irracionális számok lánctört alakja ugyan végtelen, de olykor „olvashatóbb”, megjegyezhetőbb, mint a tizedes tört alakja, például: $ \sqrt2=[1;2,2,2,2,\ldots]$.

A $ \pi$ lánctört alakja azonban nem ilyen szabályos: $ \pi=[3;7,15,1,292,1,1,1,2,1,3,1,\ldots]$. A korábban említett $ \frac{22}{7}$ és  \dfrac{355}{113} felírások a $ \pi$ lánctörtfelírásából kaphatók:

$\displaystyle [3;7]=3+\frac{1}{7}=\frac{22}{7},\qquad [3;7,15,1]=3+\cfrac{1}{7+\cfrac{1}{15+\cfrac{1}{1}}}
$

A $ \pi$ azonban nem racionális. Irracionalitását 1761-ben – alig 260 éve(!) – Johann Heinrich Lambert bizonyította be először. (Mémoire sur quelques propriétés remarquables des quantités transcendentes circulaires et logarithmiques. Histoire de l'Académie Royale des Sciences et des Belles-Lettres de Berlin (megjelent 1768-ban), 17, 265–322.)

De nem csak irracionális a $ \pi$, hanem még transzcendens is. Ez azt jelenti, hogy nincs olyan legalább elsőfokú egész együtthatós polinom, amelynek gyöke lenne. (Szemben például a $ \sqrt2$-vel, amely ugyan irracionális, de nem transzcendens, mert gyöke az $ x^2-2$ egész együtthatós polinomnak.) A $ \pi$ transzcendenciájának bizonyításával többen is próbálkoztak (Hermite, Weierstrass, Euler), akiknek az eredményeit felhasználva a végső lépést Ferdinand von Lindemann tette meg 1882-ben, azaz nem egészen 140 éve. A tétel Lindemann–Weierstrass néven vált ismertté.

A π nem szerkeszthető, a kör nem négyszögesíthető.

Az, hogy a kör nem négyszögesíthető, azt jelenti, hogy ha adott egy 1 átmérőjű kör (és más nem), akkor euklideszi módon nem szerkeszthetünk olyan négyzetet, amelynek ugyanakkora a területe, mint ennek a körnek. Ez ugyanazt jelenti, mint hogy ha adott egy egység hosszú szakasz (és más nem), akkor nem tudunk $ \pi$ hosszúságú szakaszt szerkeszteni.

A koordinátasíkon a $ (0,0)$ és az $ (1,0)$ pontokból kiindulva (más pontot nem ismerve) nem minden pontot tudunk megszerkeszteni (körző és vonalzó segítségével, a szokásos lépéseket véges sokszor végezve). Az egység hosszúságú szakasz egész számszorosait szakaszmásolással meg tudjuk szerkeszteni, sőt, párhuzamos szelők tétele alapján racionális hosszúságokat is meg tudunk szerkeszteni. Egyenes és egyenes metszéspontja a meghatározó pontok koordinátáiból összeadás, kivonás, szorzás és osztás segítségével egyszerűen megkapható, de kör és egyenes, illetve két kör metszéspontja olyan pontokat eredményezhet, amelyek koordinátáinak felírásához (az alakzatokat meghatározó pontok koordinátáiból kiindulva) négyzetgyökvonás szükséges.

Ahhoz tehát, hogy egy pontot meg tudjunk szerkeszteni a két kiinduló pontból, az kell, hogy a koordintátáit egész számokból kiindulva véges sok összeadás, kivonás, szorzás, osztás és négyzetgyökvonás segítségével fel lehessen írni. Így már az $ x^3-2$ polinom valós gyöke, a $ \root3\of2$ sem szerkeszthető – pedig nem transzcendens –, mert a 2 köbgyöke nem írható fel négyzetgyök segítségével. Ám mivel a $ \pi$ transzcendens, nemcsak hogy négyzetgyökök, de semmilyen gyökök segítségével sem írható fel, ezért az sem szerkeszthető a kiinduló két pontból, így nem szerkeszthető olyan négyzet sem, amelynek a területe $ \pi$.

Mindezek ellenére 1894-ben bizonyos Edward J. Goodwin orvos és amatőr matematikakutató cikket írt a kör négyszögesítéséről – és így a $ \pi$ szerkeszthetőségről. A cikket a neves American Mathematical Monthly folyóirat közölte, igaz, azzal a nem túl hízelgő kitétellel, hogy a megjelentetés „a szerző kérésére” történt.

Ennek nyomán Goodwin kezdeményezte, hogy Indiana Állam egyik képviselője, Taylor I. Record terjesszen be egy törvényjavaslatot „Törvényjavaslat egy új matematikai igazság bevezetésére, felajánlva az oktatáshoz való hozzájárulásként, Indiana Állam kizárólagos használatára mindenféle ellenszolgáltatás vagy bármilyen fizetség nélkül, amennyiben azt az 1897-es törvénykezés elfogadja és befogadja” címmel. (Forrás: az eredeti újság, amely beszámol a hírről: 11. oldal, harmadik hasáb alsó harmadában: THE MATHEMATICAL BILL második bekezdés, amely szerint Record képviselő beterjesztett egy javaslatot egy, a kör négyszögesítésére vonatkozó matematikai képlet legalizálására.) A törvényjavaslat tárgyalását némi derültséggel fogadták a képviselők, akiket addigra Clarence A. Waldo professzor felkészített, elmagyarázva nekik a törvényben foglaltak banalitását. 

De mégse ítélkezzünk Goodwin felett, nem ő az egyetlen a matematiktörténelemben, aki nagyot tévedett.

A π mindentudó(?)

Patrick Ingram, a torontói York University matematikusa állítja: „úgy hisszük – bár nincs rá bizonyítékunk –, hogy a $ \pi$ végeláthatatlan 0-tól 9-ig terjedő számjegyekből álló számsorozatában minden lehetséges számkombináció előfordul, és nem is csak egyszer, de újra és újra, végtelen sokszor.” (Ez a tulajdonság az úgynevezett normalitásnak a következménye. A $ \pi$ normalitását ez idáig nem sikerült sem bebizonyítani, sem cáfolni.)

David Andersen honlapján kipróbálhatjuk, hogy egy általunk megadott többjegyű szám megtalálható-e a $ \pi$ első kétmilliárd számjegyének sorozatában.

Fried Katalin

ELTE TTK Matematikai Intézet Matematikatanítási és Módszertani Központ

$ \pi$-ről készült kép szerzője Gordon Johson, https://pixabay.com/hu/vectors/pi-matematika-math-sz%C3%A1mok-3-14-3166192/.

 

 

 

15. szám 2020. március

Még több cikk

Az Érintő 2020-as első számának megjelenését március 14-ére időzítettük. Ezen a napon van ugyanis a Matematika Világnapja! 2020-ban ez az első ilyen hivatalos ünnep, amelyet a Nemzetközi  Matematikai Unió javaslatára 2019. novemberében fogadott el az UNESCO. Az első, úgynevezett „pi-nap” 1988. márc. 14-én volt: a dátum, a 3.14 a ℼ két tizedes jegyre kerekítve. Persze a magyar matematikusok már évtizedekkel korábban is remek pi-verseket írtak. Tovább...

A Szegedi Tudományegyetem Bolyai Intézetének hat matematikusa – Boldog Péter, Tekeli Tamás, Vizi Zsolt, Dénes Attila, Bartha Ferenc és Röst Gergely – azt modellezte, hogy az egyes országokban mekkora a veszélye egy Kínán kívüli járványkitörésnek. A matematikai modellek alkalmazása igen hatékony módszer lehet a járványok elleni küzdelemben. Segítségükkel pontosabb becsléseket adhatunk a COVID-19 járvány fő paramétereire – mint az inkubációs időszak és a fertőző időszak hossza, vagy a járvány reprodukciós száma –, előre jelezhetjük a járvány jövőbeli terjedését, kiértékelhetjük az eddigi intézkedések hatását, esetleg új intézkedéseket javasolhatunk. Tovább…

A π-ről már a régi görögök is tudtak: bármely két kör hasonló, ezért bármely kör kerületének és átmérőjének aránya ugyanannyi. Arkhimédész beírt és körülírt szabályos sokszögekkel próbálta megközelíteni az egységnyi átmérőjű kör kerületét. Ám a π, bár görög betű, nem az ógörögöktől, de még csak nem is az ókorban kapta a nevét. Írásos feljegyzések szerint William Jones walesi matematikus használta először a π-t a kör kerületének (periféria) és átmérőjének arányára egy 1706-ban megjelent munkájában. Ezt a jelölést vette át Leonhard Euler svájci matematikus az 1730-as években, és innen terjedt el a világon. Fried Katalin gyűjtött össze néhány érdekes, hasznos tudnivalót. Tovább...

Az Úton-módon sorozat második részében Szoldatics József ismét egy geometria példát mutat meg, és mindazt, ami róla az eszébe jutott... A 2019 évi Nemzetközi Magyar Matematikaverseny egyik, 9. osztályosoknak szóló feladatát Erdős Gábor (Batthyány Lajos Gimnázium, Nagykanizsa) javasolta. A feladatra matematika tanárok egy csoportja 20 elemi megoldást adott. Ezek közül a közölt hét megoldás mindegyike a maga nemében szép, vagy valami szép tulajdonságot használ. Tovább...

Hogyan képesek megvédeni modern társadalmunkat a számok? Hogyan lehetséges az, hogy technikai civilizációnk léte vagy nem léte múlik olyan dolgokon, amelyek csak a képzeletünkben léteznek? Ilyen kérdéseken gondolkodik Moldvai Dávid, aki egy azok közül, akik szerint a matematikusok világa meglehetősen elvont és furcsa. A „kívülálló”, akit az információelmélet és a kriptográfia érdekel, elindította a youproof.hu blogot. Olvassák, érdemes! Tovább…

A szerző, B. A. Korgyemszkij (1907–1999) az orosz nyelvű matematikai ismeretterjesztés legfontosabb alakja volt. Nem ez az első könyve magyarul sem, például 1962-ben jelent meg tőle a Matematikai fejtörők. Az ismertetendő könyv viszont az utolsó, amit írt. A feladatok kis történetek formájában jelennek meg, amelyekben az orosz népmesék és szépirodalom számos alakjával találkozunk. Rovatszerkesztőnk, Tóth János nosztalgiával és iróniával fűszerezett kedvcsinálója következik. Tovább…

Harcos Gergelyt már óvodásként is különösen érdekelték a számok, amiket egy ösvénynek tekintett. Középiskolás korában nyáron élvezettel oldott meg egyre több és több feladatot a Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapokból (egyetemi évei végén pedig már a matematika szerkesztőbizottság tagjaként dolgozott). 10 évet töltött Amerikában matematikus kutatóként, majd 2006-ban települt vissza családjával Magyarországra. Tudományos tanácsadó a Rényi Alfréd Matematikai Kutatóintézetben.

Orosz Gyula diákjai a szakkörön a 9. osztály egyik legkönnyebb szerkesztési feladatából kiindulva lépésenként eljutnak egy jóval nehezebb problémához: Adott egy egyenes, egy külső P pont és egy O középpontú kör. Tükrözzük a P pontot az egyenesre úgy, hogy további kört már nem rajzolhatunk! Azaz a szerkesztéshez csak egyetlen kört, azon túl pedig csak vonalzót használhatunk. Az eszközkorlátozott szerkesztések témaköre önállóan is érdekes. Általában nem igényel mélyebb előismereteket, ezért a tanulók kedvelni szokták, a dinamikus geometriai szoftverekkel pedig maga a szerkesztés technikai végrehajtása sem túl fáradságos. Tovább...

Daniel Tammet: Számokban létezünk című könyve már szerepelt az Érintő előző számában, most egy teljesen más recenziót olvashat róla az érdeklődő, az előzőt egy gyógypedagógus írta, ezt pedig egy matematikus, Ruzsa Imre. Ezért neki egészen más dolgok jutnak az eszébe ugyanarról a műről. Véleménye szerint: „A könyv műfaja: vegyesfelvágott; szerző olvas mindenfélét, erről mindenféle eszébe jut, és ezeket leírja. Sokfélét összeolvas és élénken jár a fantaziája, úgyhogy a könyv általaban szórakoztató.” Tovább...

Füredi Zoltán minden évben nyert az országos középiskolai versenyeken, de a tehetség mellett a sikerhez az is hozzájárult, hogy előre kiolvasta a speciális matematika tagozat négy évfolyamának tankönyveit, és legalább húszezer feladatot megoldott. Évfolyamának egyik legjobb matematikusa, aki kívülről tudta József Attila verseit. Több mint 20 évet töltött félig az Amerikai Egyesült Államok különböző egyetemein, félig a Rényi Alfréd Matematikai Kutatóintézetben. Ma a kombinatorika nemzetközi hírű kutatóprofesszora.

A Wolfram nyelv (archaikusan: Mathematica) többször is szerepelt már folyóiratunk hasábjain, de mivel nem elégszer, ezért most Tóth János ismertet néhány aktuális érdekességet folytatva a programozásról szóló előző írását. Amint bizonyára mindenki jól emlékszik, ott alapvető ismeretekről (a Map és az Apply függvényről) volt szó, itt viszont a másik végletről. Egészen összetett feladatok ellátására képes függvényekről.  (Képünk forrása: Computational intelligence, wolframalpha.com.) Tovább...

2019 decemberében a Szegedi Tudományegyetem Bolyai Intézetének vendége volt Philip Maini, az Oxfordi Egyetem professzora, a matematika biológiai alkalmazásainak világszerte egyik legnevesebb kutatója. Érdekes előadásáról, amelyet A biológiai és kémiai önszerveződés matematikája címmel tartott a Bolyai Intézet hagyományos karácsonyi szemináriumán, Dénes Attila számol be. Tovább…

A fejlett országokban is megfigyelhető az az aggasztó jelenség, hogy csökken a diákok érdeklődése a természettudományok, a technológia, a műszaki tudományok iránt, miközben egyre nagyobb szükség van ezeken a területeken széles látókörrel, komplex problémamegoldó képességgel és nagyfokú flexibilitással  rendelkező szakemberekre. A BME Természettudományi Kara Science Camp néven 2016. óta szervez ingyenes természettudományos tábort hazai és határon túli középiskolás diákoknak. Lángné Lázi Márta számol be az eddigi tapasztalatokról. Tovább…

Az előző évtizedben két olyan matematikust is Fields-éremmel díjaztak (Cédric Villani 2010, Alessio Figalli 2018), akiknek munkájában az optimális transzport probléma jelentős szerepet játszott. A probléma születését Gaspard Monge 1781-ben publikált művéhez, (egyik) újászületését pedig Leonyid Vitaljevics Kantorovics 1942-es dolgozatához kötik. (Ő látható címképünkön, Petrov-Vodkin 1938-ban készült festményén.) Ebben a rövid írásban Titkos Tamás bemutatja a transzport probléma Monge- és Kantorovics-féle megfogalmazásait. Tovább...

A Bolyai János Matematikai Társulat 2019-es díjainak kiosztására, valamint a Kürschák József Matematikai Tanulóverseny és a Schweitzer Miklós Matematikai Emlékverseny eredményhirdetésére december 11-én került sor. A Szele Tibor Emlékérem, a Grünwald Géza Emlékérem, a Farkas Gyula Emlékdíj és a Rényi Kató Emlékdíj szabályzata, megemlékezve a névadókról is, a Társulat honlapján itt olvasható. Híradásunk ismerteti a díjazottakat, akiknek nevére kattintva olvashatják méltatásukat.Tovább...

A matematika és fizika tudománya évszázadok óta kart karba öltve fejlődik. A fizika a matematika nyelvén fogalmazza meg törvényeit, igényei pedig hatással vannak a matematika fejlődésére. Az iskolában azonban találkozunk azzal a problémával, hogy fizikaórán már alkalmazás szinten kellene használni a tanulónak olyan matematikai összefüggéseket, amelyekkel a matematikaórán még alig, vagy egyáltalán nem találkozott. A fizikatanár sokszor rákényszerül arra, hogy bevezesse a hiányzó matematikai ismereteket. Bakosné Novák Andrea saját tapasztalait is átadja, bemutatva, milyen lehetőségeket ad hozzá a matematika tanításához a fizika. Tovább...

Jim Holt legújabb könyve nemrég jelent meg Magyarországon Jakabffy Éva és Jakabffy Imre fordításában, a Typotex Kiadó gondozásában. Az ismertetett témák tág területen kalandoznak: találkozhatunk a Riemann-sejtéssel és a négyszíntétellel, húrelmélettel és az univerzum végére vonatkozó elméletekkel, olvashatunk Ada Byron és a számítógéptudomány kapcsolatáról, vagy éppen az idő természetéről és az eugenetikáról. Lángi Zsolt recenziója itt olvasható. Tovább...

2018. júniusi számunkban értesülhettek a 2. Formális reakciókinetikai szimpóziumról. 2020. január 9.-én és 10.-én sor került a harmadikra is a BME H épületében, evvel a címmel: 3rd Workshop on Formal Reaction Kinetics and Related Areas. A szűk értelemben vett elmélet mellett tehát idén helyet kaphattak járványtani, génszabályozási vagy rákkutatási témák is. Bővült a résztvevők és az érdeklődő intézmények, országok száma. A miniszimpóziumról Tóth János minibeszámolója következik. (Bevezető képünket a molekulák ritka és sűrű ütközéseiről Sadi Carnot készítette.)Tovább…