Mi is ... egy kvantumcsoport?

Mi is ... egy kvantumcsoport?

Egy kvantumcsoport elsősorban is egy Hopf-algebra, egy gyönyörű struktúra, amelynek elegáns definiáló axiómáit már az 1940-es években leírták, sokkal korábban minthogy az 1980-as években az igazán fontos fizikából érkező példák megjelentek volna. Kezdjük tehát ezen elegáns axiómák ismertetésével, észbentartva azt, hogy a modern példák és a további struktúrák azok, amik igazán érdekessé és fontossá teszik ezt a témakört. Egy $ H$ Hopf-algebra tehát a következő axiómákat teljesíti:

  1. $ H$ egy $ (H, \cdot, 1)$ $ k$ test feletti egységelemes algebra.
  2. $ H$ egy $ (H, \Delta , \epsilon )$ $ k$ test feletti koegységelemes koalgebra. A $ \Delta \colon H\to H \otimes H$ „koszorzás” és az $ \epsilon \colon H\to k$ „koegység” leképezéseknek teljesíteni kell a $ (\Delta \otimes \operatorname{Id})\Delta = (\operatorname{Id}\otimes \Delta)\Delta$ és $ (\epsilon \otimes \operatorname{id})\Delta =(\operatorname{id}\otimes \epsilon )\Delta = \operatorname{id}$ azonosságokat.
  3. $ \Delta$ és $ \epsilon$ algebra homomorfizmusok.
  4. Létezik egy $ S\colon H\to H$ „antipodális” leképezés, mely teljesíti a $ \cdot (\operatorname{id}\otimes S)\Delta =\cdot (S\otimes \operatorname{id})\Delta=1\epsilon $ azonosságot.

Három nézőpontból érhetünk (egymástól függetlenül) a fenti axiómákhoz; ezek mindegyike a kvantumcsoport egy definícióját adja. Alább mindhármat tárgyaljuk, de helyszűke miatt nagyrészt az elsőre fogunk fókuszálni.

Az első megközelítés avval az észrevétellel kezdődik, hogy egy $ G$ véges csoport $ k(G)$ függvényei vagy egy $ G$ algebrai csoport $ k[G]$ koordináta-algebrája Hopf-algebrákat alkotnak. Valóban, egy véges $ G$ halmazra legyen $ k(G)$ a $ G$-n értelmezett $ k$ értékű függvények algebrája a pontonkénti műveletekkel ellátva. Azonosítsuk $ k(G)\otimes k(G)$-t $ k(G\times G)$-vel, vagyis a kétváltozós függvényekkel. Amikor $ G$ valójában egy csoport, egy $ a\in k(G)$ elemre legyen

$\displaystyle (\Delta a)(x,y)=a(xy), \quad (Sa)(x)=a(x^{-1}), \quad \epsilon (a)=a(e),
$

ahol $ e$ a $ G$ csoport egységeleme és $ x,y\in G$ tetszőleges. A csoportstruktúra tehát a $ \Delta, \epsilon$ koalgebra-struktúrában és az $ S$ antipodális leképezésben van elkódolva. Hasonlóan, minden $ G\subset k^n$ polinom-egyenletekkel megadott részhalmazra egy $ k[G]$ „koordináta-algebrát” definiálhatunk, mint a $ k^n$-en értelmezett polinom-függvények tere, moduló a $ G$ mentén eltűnő függvények ideálja. Amennyiben $ k$ algebrailag zárt, ilymódon egy pontos (funktoriális) megfeletetést kapunk ilyen polinomiális részhalmazok és nilpotens-mentes végesen generált kommutatív algebrák között. Amikor a $ G$ részhalmaz egy csoportot alkot és a csoportművelet polinomiális, a $ G\times G\to G$ szorzás-leképezés e megfeleltetés mentén egy, épp az ellenkező irányba mutató $ \Delta$ algebra homomorfizmust ad. Hasonló módon kaphatók a Hopf-algebra struktúra további elemei. Íme két példa: Az „affin egyenes” a $ k[x]$ koordináta-algebrával (egyváltozós polinomokkal) adható meg, ahol a $ \Delta x=x\otimes 1 + 1\otimes x$ additív koszorzat a $ k$-beli összeadásnak felel meg. Az olvasóra hagyjuk a struktúra további részeinek definícióját, és így annak megmutatását, hogy minden $ k$ testre létezik Hopf-algebra. A „kör” hasonló módon írható le, véve a $ k[t,t^{-1}]$ koordináta-algebrát (vagyis $ t$-beli és $ t^{-1}$-beli polinomokat, amelyekre a $ tt^{-1}=t^{-1}t=1$ relációk teljesülnek), ellátva a $ \Delta t=t\otimes t$ multiplikatív koszorzással, ami a $ k^*$-beli szorzásnak felel meg. A további részleteket és az ellenőrzést ismét az olvasóra bízzuk. A legismertebb komplex Lie-algebrák általában polinom-egyenletekkel definiáltak, amelyekhez természetesen tartozik a $ {\mathbb{C}}[G]$ algebra, illetve definiálhatók általános $ k$ test felett a megfelelő hasonló egyenletekkel és a $ k[G]$ algebrával. A $ {\mathbb{C}}$ feletti esetben egy „valós forma” egy további struktúrát, egy kompatibilis, komplex lineáris involúciót jelent, amellyel a koordináta algebra egy $ \ast$-algebrává válik. Ezekkel a jelölésekkel a fenti két példa $ {\mathbb{C}}[{\mathbb{R}}]$ és $ {\mathbb{C}}[S^1]$ lesz, és $ x^*=x$ illetve $ t^*=t^{-1}$ lesz a valós forma.

Egy általános $ H$ Hopf-algebrára is megvannak a $ \Delta, \epsilon, S$ struktúrák, de általában nem tesszük fel, hogy — mint a fenti példákban — $ H$ algebrája kommutatív. Ez épp a nemkommutatív geometria vagy „kvantálás” nézőpontja egy kommutatív koordináta-algebra vagy függvényalgebra nemkommutatív deformálására a matematikusok (de nem a fizikusok) értelmezésében. A csoportelmélet, illetve a Lie-csoportok elméletének nagy része erre a szintre emelhető; például amennyiben az

$\displaystyle \int \colon H\to k
$

eltolás-invariáns integrálás (ami bizonyos értelemben $ \Delta$-t is használja) létezik, akkor átskálázás erejéig egyértelmű, és valójában a szép esetekben létezik is. Hasonlóan, az $ (\oplus _n \Omega ^n , d)$ komplex differenciálformák minden $ H$ algebra felett értelmezhetőek. Az egy fokú $ \Omega _1$ 1-formák tere egy $ H-H$ bimodulus, amelyen egy $ \operatorname{d}\colon H \to \Omega ^1$ operátor is adott, ami eleget tesz a $ \operatorname{d}(ab)=(\operatorname{d}a)b+a(\operatorname{d}b)$ ($ a,b\in H$) Leibniz-szabálynak és $ \Omega ^1=H\operatorname{d}H$. Ez kicsit gyengébb mint a szokásos differenciálgeometriában, még akkor is, amikor $ H$ kommutatív, mivel nem követeljük meg, hogy az 1-formák kommutáljanak $ H$ elemeivel. Amikor $ H$ egy Hopf-algebra, megkövetelhető az is, hogy $ \Omega ^1$ eltolás-invariáns legyen, ismét egy a $ \Delta$-t is használó értelemben. Ebben az értelemben egy „kvantumcsoport” nem egyszerűen egy Hopf-algebra, hanem egy további, a Lie-csoportokhoz hasonló struktúrája is van. E mélyebb elmélet néhány tulajdonsága már az egyenes és a kör példáján is látható, bár ezek a példák kommutatívak mint algebrák. Az egyszerű (tehát valódi hányados nélküli) eltolás-invariáns $ (\Omega ^1, \operatorname{d})$ struktúrák például osztályozhatók. $ {\mathbb{C}}[x]$ esetén egy $ \lambda\in {\mathbb{C}}$ paraméterrel jellemezhetők, és a

$\displaystyle \operatorname{d}a(x) = \frac{a(x + \lambda ) - a(x)}{\lambda }\operatorname{d}x,\quad \operatorname{d}x a(x) = a(x + \lambda )\operatorname{d}x
$

 véges differencia alakra hozhatók minden $ a\in {\mathbb{C}}[x]$-re. Csak $ \lambda =0$ esetén fog $ \operatorname{d}x$ a függvényekkel kommutálni, tehát csak ekkor látjuk a megszokott geometriát. $ {\mathbb{C}}[t, t^{-1}]$ esetén az eltolás-invariáns $ (\Omega ^1, \operatorname{d})$ struktúrákat egy $ q\in {\mathbb{C}}^*$ érték klasszifikál, és ekkor

$\displaystyle \operatorname{d}a(t) = \frac{a(t) - a(qt)}{(1 - q)t}\operatorname{d}t, \quad \operatorname{d}t a(t) = a(qt)\operatorname{d}t
$

minden $ a\in {\mathbb{C}}[t, t^{-1}]$-re. Ez a két példa valójában bemutatja a ma ismert kvantumcsoportok két fő típusát. A legnevezetesebb példa a $ C_q(SL_2)$$ q$-deformált” kvantumcsoport, melynek $ a,b,c,d$ generátoraira a relációk és a koszorzat a következő módon adható meg:

$\displaystyle ba = qab,\ bc = cb, \ ca = qac, \ dc = qcd, \ db = qbd, \ da = ad + (q - q^{-1})bc, \ ad - q^{-1}bc = 1,
$

 

$\displaystyle \Delta\begin{pmatrix}a & b \\ c & d \\ \end{pmatrix}=\begin{pmatr...
... \\ c & d \\ \end{pmatrix}\otimes\begin{pmatrix}a & b \\ c & d \\ \end{pmatrix}$

ahol mátrix-szorzást alkalmazunk (vagyis például $ \Delta a = a \otimes a + b \otimes c$, stb.). Hasonlóan adhatók meg a $ {\mathbb{C}}_q[G]$ változatok minden $ G$ Lie-csoportra, illetve komplexifikáltjaikra. Másfajta „$ \lambda$-deformációra” ad példát $ {\mathbb{C}}_{\lambda}[{\mathcal {R}}^{1,3}]$, amit a $ t, x_i$ ($ i=1,2,3$) elemek által generált algebraként definiálunk; a relációk $ [x_i,t]=\i \lambda x_i$; és az additív koszorzat úgy adható meg, mint $ {\mathbb{C}}[x]$ esetében. Ez valójában egy feloldható Lie-algebra burkoló algebrája (lásd később). A NASA GLAST műhold mérései alapján azt is tesztelni tudjuk majd esetleg, hogy a mi téridőnk ilyen-e, $ \lambda \approx 10^{-44}$ szekundum választással, ahol ez a hatás a kvantumgravitációból jönne. További nemtriviális példákat adnak a „bikeresztszorzat” kvantumcsoportok, amelyeket később fogunk érinteni.

A kvantumcsoportok definíciójának második megközelítése azon az észrevételen alapul, hogy egy tetszőleges csoport $ kG$ csoportalgebrája, és egy tetszőleges Lie-algebra $ U({\mathfrak{g}})$ burkoló algebrája Hopf-algebrákat alkotnak, ez esetben szimmetrikus koszorzattal (vagyis koalgebrájuk „kokommutatív”). Egy $ G$ csoport $ k$ feletti csoportalgebrája egyszerűen a $ G$ elemei mint bázis által definiált vektortér, és a szorzat a báziselemeken a $ G$-beli szorzat, lineárisan kiterjesztve. Továbbá

$\displaystyle \Delta x = x \otimes x, \quad \epsilon x = 1, \quad Sx = x^{-1}
$

minden $ x\in G$-re, ismét lineárisan kiterjesztve. Hasonlóan, legyen $ ({\mathfrak{g}}, [\cdot ,\cdot ])$ egy Lie-algebra a $ [\cdot, \cdot ]$ Lie-zárójellel ellátva. Az $ U({\mathfrak{g}})$ egy egyszerű (de nem túlzottan elegáns) definíciója a következő: vegyük $ {\mathfrak{g}}$ egy bázisát és legyen $ U({\mathfrak{g}})$ az a szabad asszociatív algebra, amelyet ezek az elemek mint generátorok adnak, és vegyük ehhez a $ vw-wv=[v,w]$ relációkat minden $ v,w$ báziselemre. Mindez lineárisan kiterjed, így ez az egyenlet minden $ v,w\in{\mathfrak{g}}$ elemre teljesül. A koszorzás ismét az additív koszorzás: $ \Delta v=v\otimes 1 + 1 \otimes v$ a generátorokon. Ezekben a példákban a $ kG$ vagy az $ U({\mathfrak{g}})$ algebra egy hatása a $ G$ csoport vagy a $ {\mathfrak{g}}$ Lie-algebra egy lineáris hatásával egyenértékű, és $ \Delta$ azt kódolja el, hogy a hatások hogyan terjednek ki a tenzorszorzatokra; hasonlóan ahhoz, ahogy egy $ H$ Hopf-algebrát tekinthetünk úgy, mint egy „általánosított szimmetriát”, ahol a $ h\in H$ elem $ \Delta h$-val hat a tenzorszorzaton. Erre szükségünk van például akkor, amikor meg akarjuk határozni, hogy egy másik algebra kovariáns-e $ H$-ra nézve.

A leghíresebb példa pedig $ U_q(sl_2)$, amelyet az $ e,g,q^h, q^{-h}$ generátorokkal adhatunk meg, és amelyekre a következő relációk teljesülnek:

$\displaystyle q^heq^{-h} = q^2e, \ q^hf q^{-h} = q^{-2}f, \ [e, f] = \frac{q^h - q^{-h}}{q -q^{-1}},
$

 

$\displaystyle \Delta e = e \otimes q^h + 1\otimes e, \ \Delta f = f \otimes 1 + q^{-h} \otimes f, \ \Delta q^h = q^h \otimes q^h.
$

Megköveteljük továbbá, hogy $ q^2 \neq 1$. $ U_q({\mathfrak{g}})$ pedig tetszőleges $ {\mathfrak{g}}$ esetén egy szimmetrizálható Cartan-mátrixszal definiálható. Ezek a kvantumcsoportok nagyon gazdag algebrai struktúrával rendelkeznek, amelyek csomó- és 3-sokaság-invariánsokhoz vezetnek. Az egyik legmélyebb eredmény a Lusztig–Kashiwara kanonikus bázis létezése, amely a legmagasabb súlyú modulusoknak indukálja egy bázisát; ez az eredmény még a $ q\to 1$ klasszikus esetben is nagyon fontos.

A harmadik nézőpont szerint Hopf-algebrák az Abel-csoportok utáni legegyszerűbb olyan kategóriát alkotják, amelyben van Fourier-transzformált. E nézőpont adja az önduális formákhoz tartozó „bikeresztszorzat” kvantumcsoportok meglehetősen nagy osztályát. Ezek egyszerre „koordináta-” és „szimmetria-” algebrák, és szoros kapcsolatban állnak a kvantummechanikával. Ezekre egy példa $ {\mathbb{C}}[{\mathbb{R}}^3 \rtimes {\mathbb{R}}]_{\lambda}\blacktriangleright\!\!\!\! \triangleleft \ U(so_{1,3})$ mely a $ {\mathbb{C}}_{\lambda }[{\mathbb{R}}^{1,3}]$ fent tárgyalt nemkommutatív téridő algebra Poincaré- kvantumcsoportja. Ez esetben a speciális relativitáselmélet ugyanúgy alkalmazható, de mint kvantumcsoport szimmetria. Ez a kvantumcsoport úgy is interpretálható, mint egy feketelyuk-szerű tulajdonságokkal rendelkező görbült térben mozgó részecske kvantálása.

Shahn Majid

További olvasmány:

S. Majid, A Quantum Groups Primer, L. M. S. Lect. Notes 292, 2002.

Shahn Majid a Queen Mary (University of London) matematika professzora; e-mail címe Ez az ímélcím a spamrobotok elleni védelem alatt áll. Megtekintéséhez engedélyeznie kell a JavaScript használatát.. A cikk eredetileg az American Mathematical Society Notices folyóiratának 2006-os számában jelent meg a What is ...? rovatban. A fordítást Stipsicz András készítette. 

Sahn Majid, WHAT IS...a Quantum Group? Notices Amer. Math. Soc. Vol. 53 Num. 1 (January, 2006) 30-31 ©2006 American Mathematical Society