Mi is ... egy Maass-forma?

A Maass-formák – vagy általánosabban az automorf formák – harmonikus hullámok, amelyek speciális szimmetriákkal rendelkeznek. A hullámok hagyományosan a fizikusokat érdeklik, de mivel a szóban forgó szimmetriák az egész számokból származnak, ezért a Maass-formákat elsősorban a számelmélészek kutatják. Kevésbé nyilvánvaló, hogy a Maass-formák nagyon hasznosak az egész számok megértésében, de a matematika egyéb területein is, pl. a matematikai fizikában. A segítségükkel mély összefüggéseket sikerült feltárni és nehéz kérdéseket sikerült megválaszolni. A matematika több híres megoldatlan problémája – pl. a Ramanujan-Selberg-sejtés, a Langlands-program, vagy az általános Riemann-sejtés – hozható kapcsolatba a Maass-formákkal.

A Maass-formákat Hans Maass fedezte fel 1946-ban meglehetősen indirekt módon, számelméleti $L$ -függvényeken keresztül. A legegyszerűbb $L$ -függvény a Riemann-féle zeta-függvény, amit az $1$ -nél nagyobb valós részű komplex számokon a

$\displaystyle \zeta(s)=\sum_{n\geqslant 1}\frac{1}{n^s}=\prod_{\text{$p$\ prím}}\left(1-\frac{1}{p^s}\right)^{-1}$

Dirichlet-sor, illetve Euler-szorzat definiál. A klasszikus gamma-függvénnyel kiegészített

$\displaystyle Z(s)=\pi^{-\frac{s}{2}}\Gamma\left(\frac{s}{2}\right)\zeta(s)$

teljes zeta-függvény holomorfan kiterjed a $\mathbb{C}\setminus\{0,1\}$ pontozott komplex számsíkra, ahol kielégíti a $Z(s)=Z(1-s)$ függvényegyenletet. Ennek a függvénynek a segítségével jól becsülhető a prímek száma egy adott korlátig, és az ilyen irányú vizsgálatok vezethették Riemannt a híres sejtésének megfogalmazásához: ha $Z(s)=0$ , akkor $s$ valós része $1/2$ . Az általánosabb, ún. $d$ -ed fokú $L$ -függvények Dirichlet-sorában az együtthatókat nem a konstans $1$ függvény adja meg, hanem egy általánosabb multiplikatív függvény; az Euler-szorzatban a $p$ prímhez nem az $1-p^{-s}$ tényező tartozik, hanem a $p^{-s}$ egy legfeljebb $d$ -ed fokú polinomja (amelyben az együtthatók csak a $p$ -től függnek és a konstans tag mindig $1$ ); a teljes $L$ -függvényben szereplő extra tényező pedig nem a $\pi^{-s/2}\Gamma(s/2)$ , hanem ennek $d$ darab eltolt példánya. A függvényegyenlet az $N^{s/2}Z(s)=\kappa N^{(1-s)/2}\overline {Z(1-\overline {s})}$ alakot ölti, ahol $\vert\kappa\vert=1$ és $N$ egy pozitív egész (aminek prímosztóihoz tartoznak a $d$ -nél kisebb fokú Euler-tényezők). Persze csak nagyon speciális multiplikatív függvény Dirichlet-sora rendelkezhet ilyen szép tulajdonságokkal, és ma már úgy gondoljuk, hogy minden ilyen függvény automorf eredetű.

A prímszámok finomabb eloszlása motiválja az általánosabb $L$ -függvények bevezetését. Pl. ha arra vagyunk kíváncsiak, hogy egy adott korlátig hány prímszám ad $1$ , illetve $3$ maradékot $4$ -gyel osztva, akkor a $\zeta(s)$ mellett azt a Dirichlet-sort célszerű vizsgálni, amelyben az együtthatók $4$ -esével ismétlődve rendre az $1,0,-1,0$ értékek (mindkét $L$ -függvény foka $d=1$ ). Ily módon kiderül, hogy a kétféle maradék nagyjából egyenletesen oszlik el a prímek között. Továbbmenve, az $1$ maradékot adó prímszámok egyértelműen előállnak két négyzetszám összegeként, és ha arra vagyunk kíváncsiak, a két négyzetszám hányadosa az esetek hányad részében esik mondjuk $0.89$ és $1.07$ közé, akkor a $\mathbb{Q}(i)$ komplex másodfokú számtest bizonyos Hecke $L$ -függvényeit célszerű vizsgálni (amelyek foka $d=2$ ). Ez utóbbi $L$ -függvényeket Hecke 1936-ban az akkoriban már jól ismert moduláris formákhoz tudta kapcsolni: megmutatta, hogy a Dirichlet-együtthatók megegyeznek egy alkalmas moduláris forma Hecke-sajátértékeivel. Maass 10 évvel később felismerte, hogy hasonló leírás létezik a valós másodfokú számtestek – mint pl. a $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ – Hecke $L$ -függvényeire is, csak az ő esetükben moduláris formák helyett Maass-formákat kell tekinteni.

Mi is tehát egy Maass-forma? A Bolyai-féle hiperbolikus síkgeometria egyik ismert modellje a komplex számsík valós tengely feletti félsíkja. Ebben a modellben az egyenesek a valós tengelyt merőlegesen metsző egyenesek és félkörök. Az $\mathrm{SL}_2(\mathbb{R})$ csoport minden eleme meghatároz egy irányítástartó egybevágóságot az alábbi törtlineáris hatással:

$\displaystyle z\mapsto\frac{az+b}{cz+d},\qquad\begin{pmatrix}a&b\\ c&d\end{pmatrix}\in\mathrm{SL}_2(\mathbb{R}).$

Valójában minden irányítástartó egybevágóságot megkapunk így. Tekintsük most az $\mathrm{SL}_2(\mathbb{R})$ egy aritmetikus részcsoportját, példának okáért az $\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})$ -t. Maass-formán (pontosabban $1$ szintű és 0 súlyú Maass-formán) a $\mathcal{H}$ felső félsík olyan korlátos (de nem konstans) függvényét értjük, ami invariáns az $\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})$ hatására nézve, továbbá sajátfüggvénye a

$\displaystyle \Delta f=-y^2\left(\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}\right)$

pozitív hiperbolikus Laplace-operátornak, tehát kielégíti a $\Delta f=\lambda f$ parciális differenciálegyenletet valamilyen $\lambda>0$ konstanssal. Más szóval a Maass-forma az $\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})\backslash\mathcal{H}$ hiperbolikus felület korlátos (de nem konstans) Laplace-sajátfüggvénye. Persze cseppet sem világos, hogy ilyen egyáltalán létezik – a Maass által konkrétan megtalált formák csak az $\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})$ egy véges indexű kongruencia-részcsoportjára voltak invariánsak. Mindenesetre Selberg a róla elnevezett nyomformulával 1956-ban belátta, hogy az általunk tekintett Maass-formák bőségesen léteznek, és az $L^2(\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})\backslash\mathcal{H})$ Hilbert-tér egy jelentős részét, az ún. csúcsos alterét feszítik ki. A Maass-formák Laplace-sajátértékei véges multiplicitásúak: sorba rendezve őket átlagosan $12$ távolságra fekszenek egymástól, és a sorozat első $5$ tagja $5$ tizedesjegyre kerekítve

$\displaystyle \lambda\ \approx\ 91.14135,\ 148.43213,\ 190.13155,\ 206.41680,\ 260.68741.$

Selberg azt is megmutatta, hogy a csúcsos altér ortogonális kiegészítőjének minden eleme előáll Eisenstein-sorok folytonos lineáris kombinációjaként: az Eisenstein-sorok $\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})$ -invariánsak és Laplace-sajátfüggvények, de nem korlátosak.

A képet finomítják a Hecke-operátorok, amelyek a Laplace-operátor számelméleti megfelelői. Ezek bevezetéséhez rendeljük minden $z\in\mathcal{H}$ ponthoz a $\mathbb{Z}+z\mathbb{Z}\subset\mathbb{C}$ rácsot. Könnyen meggondolható, hogy $\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})$ -ekvivalens pontokhoz tartozó rácsok forgatva nyújtással egymásba vihetők: valójában az $\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})\backslash\mathcal{H}$ pontjai bijekcióban állnak a $\mathbb{C}$ -beli rácsokkal forgatva nyújtás erejéig. Tehát egy Maass-formára tekinthetünk úgy is, mint a $\mathbb{C}$ -beli rácsok halmazán értelmezett speciális függvényre. Ha most $n$ egy pozitív egész, akkor minden $\mathbb{C}$ -beli rácsnak van $\sum_{d\mid n}d$ darab $n$ indexű részrácsa, amik felett átlagolhatjuk a Maass-formát. Ez az átlagolás az $n$ -hez tartozó Hecke-operátor, ami egy konvencionális normálással a felső félsík $\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})$ -invariáns függvényeire a következő alakot ölti:

$\displaystyle T_n f(z)=\frac{1}{\sqrt{n}}\,\sum_{ad=n}\,\sum_{1\leqslant b\leqslant d} f\left(\frac{az+b}{d}\right).$

Ehhez a családhoz hozzávesszük még a $T_{-1}$ kiegészítő Hecke-operátort is, amely az $f(z)$ függvényhez az $f(-\overline {z})$ függvényt rendeli. A Hecke-operátorok az $L^2(\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})\backslash\mathcal{H})$ önadjungált operátorai, amelyek a hiperbolikus Laplace-operátorral és egymással is felcserélhetők. Ez azt jelenti (egy jól ismert lineáris algebrai tétel szerint), hogy a csúcsos altérnek van olyan Maass-formákból álló bázisa, amelyek az összes Hecke-operátornak sajátfüggvényei. Ha $f$ egy ilyen Hecke-Maass-forma, amire $T_nf=\lambda(n)f$ , akkor az $f$ -hez társított másodfokú $L$ -függvény az $1$ -nél nagyobb valós részű komplex számokon

$\displaystyle L(s,f)=\sum_{n\geqslant 1}\frac{\lambda(n)}{n^s}=\prod_{\text{$p$\ prím}}\left(1-\frac{\lambda(p)}{p^s}+\frac{1}{p^{2s}}\right)^{-1}.$

Továbbá, ha $\Delta f=(1/4+t^2)f$ és $T_{-1}f=f$ (a $T_{-1}f=-f$ eset hasonló), akkor a teljes $L$ -függvény

$\displaystyle \Lambda(s,f)=\pi^{-s}\Gamma\left(\frac{s+it}{2}\right)\Gamma\left(\frac{s-it}{2}\right)L(s,f),$

ami kiterjed holomorf egészfüggvénnyé és kielégíti a $\Lambda(s,f)=\Lambda(1-s,f)$ függvényegyenletet. Tehát $L(s,f)$ és $\Lambda(s,f)$ nagyon hasonlít a Riemann-zetából származtatott $\zeta(s+it)\zeta(s-it)$ és $Z(s+it)Z(s-it)$ szorzatokra. Valójában $\zeta(s+it)\zeta(s-it)$ nem más, mint az $1/4+t^2$ Laplace-sajátértékű Eisenstein-sorhoz a fenti módon társított $L$ -függvény!

Amennyire tudjuk, az $L(s,f)$ Dirichlet-sorának együtthatói – tehát a Hecke-operátorok sajátértékei az $f$ Maass-formán – transzcendens számok (ellentétben a korábban felfedezett $L$ -függvényekkel), de a Riemann-sejtés itt is igaznak tűnik: ha $\Lambda(s,f)=0$ , akkor $s$ valós része $1/2$ . Jó okunk van tehát feltételezni, hogy a Riemann-sejtés maga is automorf természetű. Annyit már most bizonyosan tudunk, hogy az automorf $L$ -függvényeket együttesen, családokban tudjuk hatékonyan vizsgálni, felhasználva azok közös eredetét.

Végezetül nézzünk meg néhány Maass-formát a „valóságban”. Az alábbi ábrákat Fredrik Strömberg készítette, és az ő engedélyével közöljük. Mindegyik ábrán egy Maass-forma abszolút értékének eloszlása látható a $\{z\in\mathcal{H}\colon \vert{\mathrm{Re}}z\vert\leqslant 1/2,\ \vert z\vert\geqslant 1\}$ halmazra megszorítva (pontosabban annak az ${\mathrm{Im}}z\leqslant 2$ feltétellel megadott kompakt részére), ami az $\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})$ -re nézve egy fundamentális tartomány. A Maass-formák valós értékűek, mert a $T_{-1}$ operátornak sajátfüggvényei, és ugyanez okozza az ábrák bal-jobb szimmetriáját. Mint egy hőtérképen, a sötétkék szín jelzi a kis értékeket, a vörös pedig a nagyokat.