Egy kör és más semmi... szerkesztések csak vonalzóval

Egy kör és más semmi... szerkesztések csak vonalzóval

Előzmények

A 9. osztályos matematika tanórán egy érdekes problémakört érintettünk. Geometriából éppen a síkbeli alapszerkesztéseket tekintettük át, az ezekhez kötődő kérdések két (alap)feladat tárgyalásakor vetődtek fel. A továbbiakban először ismertetjük a két (nagyon egyszerű) alapfeladat (az 1. és a 2. feladat) egy lehetséges megoldását és a kapcsolódó tanulói kérdést, majd megadjuk a felvetett problémakör néhány eredményét.

Az eszközkorlátozott szerkesztések témaköre önállóan is érdekes. Általában nem igényel mélyebb előismereteket, ezért a tanulók kedvelni szokták, a dinamikus geometriai szoftverekkel pedig maga a szerkesztés technikai végrehajtása sem túl fáradságos.

1. feladat: Adott egy $ e$ egyenes és rajta kívül egy $ P$ pont. Szerkesszünk a $ P$ pontból merőlegest az $ e$ egyenesre!

Megoldás:

$ 1^{\circ}$: $ P$ középpontú $ k_1$ kört rajzolunk úgy, hogy a kör sugara, $ r_1 $nagyobb legyen a $ P$ és $ e$ távolságánál. $ k_1$ és $ e$ metszéspontjait jelölje $ A$ és $ B$.

$ 2^{\circ}$: $ A$ középpontú $ k_2$ kört rajzolunk „elég nagy” $ r_2$ sugárral (azaz a kör sugarára $ r_2>\frac{AB}{2}$ teljesüljön).

$ 3^{\circ}$: $ B$ középpontú $ k_3$ kört szerkesztünk ugyanakkora $ r_2$ sugárral.

$ 4^{\circ}$: $ k_2$ és $ k_3$ egyik metszéspontját $ P$-vel összekötve megkapjuk a kért $ f$ egyenest ($ f$ az $ AB$ szakasz felező merőlegese).

2. feladat: Adott egy $ e$ egyenes és rajta kívül egy $ P$ pont. Tükrözzük a $ P$ pontot az $ e$ egyenesre!

Megoldás:

$ 1^{\circ}$. Felhasználjuk az 1. feladat megoldását, megszerkesztjük az $ e$-re merőleges, $ P$-n átmenő $ f$ egyenest.

$ 2^{\circ}$. Jelölje $ C$ az $ e$ és $ f$ egyenesek metszéspontját. Felvesszük a $ C$ középpontú, $ CP$ sugarú $ k_4$ kört.

$ 3^{\circ}$. $ k_2$ és $ f$ egymást $ P$-ben és $ P'$-ben metszik, a $ P$ pont keresett tükörképe $ P'$.

Ebben a megoldásban a $ P$ pont tengelyes tükörképének megszerkesztéséhez 4 kört vettünk fel.

Természetes módon adódik a kérdés: el lehet-e végezni a szerkesztést ügyesebben, kevesebb kör segítségével?

Három körrel szinte minden tanuló tudta a megoldást, két körrel már némi kreativitásra is szükség volt.

Ez a két feladat vezetett a további kérdésfeltevésekre:

3. feladat: Adott egy $ e$ egyenes és rajta kívül egy $ P$ pont. Tükrözzük a $ P$ pontot az $ e$ egyenesre úgy, hogy a szerkesztéshez csak három kört rajzolhatunk!

Megoldás:

Az 1. feladat megoldásának szerkesztését annyiban módosítjuk, hogy a $ k_1$, $ k_2$ és $ k_3$ körök sugara egyenlő legyen. Ekkor $ k_2$ és $ k_3$ egyik metszéspontja $ P$, míg a másik metszéspontja $ P'$, ami $ P$ tükörképe $ e$-re. ($ APBP'$ rombusz.)

4. feladat: Adott egy $ e$ egyenes és rajta kívül egy $ P$ pont. Tükrözzük a $ P$ pontot az $ e$ egyenesre úgy, hogy csak két kört szerkeszthetünk!

Megoldás:

$ 1^{\circ}$. Legyen $ A$ az $ e$ egyenes tetszőleges pontja. Felvesszük az $ A$ középpontú, $ AP$ sugarú $ k_1$ kört.

$ 2^{\circ}$. Hasonlóan, ha $ B$ az $ e$ egyenes egy ($ A$-tól különböző) tetszőleges pontja, akkor megrajzoljuk a $ B$ középpontú, $ BP$ sugarú $ k_2$ kört.

$ 3^{\circ}$. Ekkor $ k_1$ és $ k_2$ $ P$-től különböző metszéspontja $ P'$, ami $ P$ tükörképe $ e$-re.

Indoklásul arra hivatkozhatunk, hogy $ APBP'$ deltoid, és ennek $ PP'$ átlóját az $ AB$ átló merőlegesen felezi.

Ezután következett a nehéz kérdés: vajon a szerkesztés ($ P$ tükrözése $ e$-re) elvégezhető-e egyetlen kör felvételével?

Hasonló, korlátozott szerkesztésekkel kapcsolatos kérdések a 11. osztályos tanórán és szakkörön is felvetődtek. A továbbiakban ezekből a kérdésekből és a rájuk adott válaszokból gyűjtöttünk össze néhányat.

Pont tükrözése egyenesre egyetlen kör felhasználásával

Először segédfeladatként $ P$-ből merőlegest szerkesztünk.

5. feladat: Adott egy $ e$ egyenes és rajta kívül egy $ P$ pont. Szerkesszünk a $ P$ pontból merőlegest az $ e$ egyenesre úgy, hogy a szerkesztéshez csak egyetlen kört rajzolhatunk!

Megoldás:

$ 1^{\circ}$. Kijelölünk egy $ O$ pontot ez $ e$ egyenesen, és az ábra szerint felveszünk egy $ k$ kört. A kör $ A$ és $ B$ pontokban metszi az egyenest. (A kör mindig felvehető úgy, hogy $ P$ körön kívüli pont legyen, és $ e$-re vonatkozó merőleges vetülete $ A$ és $ B$ közé essen.) Ezek után már csak vonalzót használunk.

$ 2^{\circ}$. Meghúzzuk a $ PA$ egyenest, ez $ k$-t $ C$-ben metszi.

$ 3^{\circ}$. Hasonlóan a $ PB$ egyenes $ k$-t $ D$-ben metszi.

$ 4^{\circ}$. Felvesszük a $ BC$ egyenest. Thalész tétele miatt ez merőleges $ AP$-re.

$ 5^{\circ}$. Felvesszük az $ AD$ egyenest. Thalész tétele miatt ez $ BP$-re merőleges; $ BC$ és $ AD$ metszéspontját jelölje $ M$.

$ 6^{\circ}$. A $ PM$ egyenes lesz a feladat megoldása. Ugyanis $ M$ az $ ABP$ háromszög $ BC$ és $ AD$ magasságainak metszéspontja, azaz magasságpont; akkor pedig $ PM$ is magasságvonal a háromszögben.

Megjegyzések: A szerkesztés akkor is végrehajtható, ha $ P$ a körön belüli pont (ekkor $ P$ és $ M$ szerepet cserél).

Sőt a szerkesztés akkor is „működik”, ha $ ABP$ tompaszögű háromszög (például $ P$ merőleges vetülete az $ AB$ szakasz $ B$-n túli meghosszabbítására esik), a szerkesztési lépések ugyanazok maradnak.

6. feladat: Adott egy $ e$ egyenes és rajta kívül egy $ P$ pont. Tükrözzük a $ P$ pontot az $ e$ egyenesre úgy, hogy a szerkesztéshez csak egyetlen kört rajzolhatunk!

Első megoldás (Korinek Ádám 11.a):

$ 1^{\circ}$. Az 5. feladat alapján $ P$-ből az $ e$ ($ AB$) egyenesre megszerkesztjük az $ m$ merőlegest. Ez a $ k$ kört $ C$-ben és $ D$-ben metszi.

$ 2^{\circ}$. Felvesszük a $ CO$ és $ DO$ egyeneseket, ezek $ k$-t $ E$-ben, illetve $ F$-ben metszik.

$ 3^{\circ}$. Felvesszük a $ BF$ és $ BE$ egyeneseket, ezek $ AC$-t $ G$-ben, $ AD$-t $ H$-ban metszik.

$ 4^{\circ}$. Felvesszük a $ GP$ egyenest, ez az $ I$ pontban metszi $ e$-t.

$ 5^{\circ}$. Végül $ IH$ és $ m$ metszéspontja legyen $ J$, ez a keresett $ P'$ pont, $ P$ tükörképe.

Indoklás: $ G$ és $ H$ szimmetrikus helyzetű $ e$-re, így $ IPJ$ is szimmetrikus háromszög.

Megjegyzések: Általános módszert kaptunk: $ P$ tengelyes tükrözéséhez elegendő egy $ G$ és $ H$ tükörkép-pontpár megszerkesztése (a tengelyes szimmetria közvetítő szerepe).

Problémát jelenthet, ha $ GP$ párhuzamos $ e$-vel ($ I$ nem áll elő). Azonban a módszerünk alapján már $ E$ és $ F$ tükrös helyzetűek, a szerkesztés velük is befejezhető (a 3. és 4. szerkesztési lépés felesleges). Gyorsabban célt érünk tehát, ha a $ PF$ és $ e$ metszéspontját vesszük fel ($ K$), ekkor $ KE$ és $ m$ metszéspontja jelöli ki $ P'$-t.

A két lehetőség közül az egyik biztosan végrehajtható, $ I$ vagy $ K$ valamelyike mindig létezik.

Második megoldás (Szepessy Hajnalka 11.a):

$ 1^{\circ}$. $ O$ középpontú, $ P$-n átmenő $ k$ kört rajzolunk. A kör $ A$ és $ B$ pontokban metszi $ e$-t ($ OA=OB=OP$).

$ 2^{\circ}$. Az 5. feladat alapján az $ e$ egyenesre tetszőleges pontból $ m$ merőlegest szerkesztünk evvel a $ k$ körrel. A kört $ m$ metszi $ C$-ben és $ D$-ben.

$ 3^{\circ}$. $ CP$ metszi $ e$-t $ E$-ben.

$ 4^{\circ}$. $ ED$ metszi $ k$-t $ H$-ban. Készen vagyunk: $ P'\equiv H$.

Megjegyzések: Ebben a megoldásban is a pontpárok tengelyes szimmetriáját használtuk fel (és a kör közvetítő szerepét).

Harmadik megoldás (Kotán Tamás 11.a):

$ 1^{\circ}$. $ O$ középpontú, $ P$-n átmenő $ k$ kört rajzolunk. A kör $ A$ és $ B$ pontokban metszi $ e$-t ($ OA=OB=OP$).

$ 2^{\circ}$. Az 5. feladat alapján az $ e$ egyenesre tetszőleges pontból $ m$ merőlegest szerkesztünk a $ k$ körrel. A kört $ m$ metszi $ C$-ben és $ D$-ben, az $ e$ egyenest $ E$-ben.

$ 3^{\circ}$. $ PE$ metszi $ k$-t $ F$-ben.

$ 4^{\circ}$. $ AF$ metszi $ m$-et $ G$-ben.

$ 5^{\circ}$. $ BG$ metszi $ k$-t $ H$-ban.

Állítás: $ P'\equiv H$.

Bizonyítás (Dobos Sándor): $ EGFB$ húrnégyszög, mert $ GEB\sphericalangle=GFB\sphericalangle=90^{\circ}$. ($ GFB\sphericalangle=AFB\sphericalangle$.) Ezért $ EFG\sphericalangle=EBG\sphericalangle$ (kerületi szögek). Ekkor a $ k$ körben a szögekhez tartozó ívek és a húrok is egyenlők: $ PA=AH$. Vagyis $ H$ valóban $ P$ tükörképe $ e$-re.

Negyedik megoldás (Kotán Tamás 11.a):

$ 1^{\circ}$. $ O$ középpontú, $ P$-n átmenő $ k$ kört rajzolunk. A kör $ A$ és $ B$ pontokban metszi $ e$-t ($ OA=OB=OP$).

$ 2^{\circ}$. Az 5. feladat alapján az $ e$ egyenesre tetszőleges pontból $ m$ merőlegest szerkesztünk a $ k$ körrel. A kört $ m$ metszi $ C$-ben és $ D$-ben.

$ 3^{\circ}$. $ PD$ metszi $ e$-t $ M$-ben.

$ 4^{\circ}$. $ CM$ metszi $ k$-t $ H$-ban.

Állítás: $ P'\equiv H$.

Bizonyításként arra hivatkozhatunk, hogy $ PCDH$ az $ e$-re tengelyesen szimmetrikus alakzat, azaz húrtrapéz.

Pont tükrözése egyenesre egyetlen kör felhasználásával – de a kört más rajzolja meg

Az eddigi szerkesztésekben megszorító feltétel volt, hogy csak egyetlen kör rajzolható. Igaz, ezt úgy vehettük fel, ahogy szükségünk volt rá. Érdekes kérdés vetődött fel az órákon, további szigorításként: mi a helyzet akkor, ha (az egyetlen) kört más rajzolja meg? Azaz, ha a kör, a $ P$ pont és az egyenes helyzete már rögzített.

Ha az egyenes a kör átmérője, és a $ P$ pont a körön van, akkor például a fenti második megoldás most is alkalmazható.

7. feladat: Adott egy $ e$ egyenes és egy kör, amelynek $ O$ középpontja az egyenesen van. Továbbá legyen az adott $ P$ pont például a körön kívül. Tükrözzük a $ P$ pontot az $ e$ egyenesre úgy, hogy további kört már nem rajzolhatunk!

Megoldás:

A $ k$ kör és $ e$ két metszéspontja legyen $ A$ és $ B$.

$ 1^{\circ}$. Az 5. feladat alapján az $ e$ egyenesre tetszőleges pontból $ m$ merőlegest szerkesztünk, ez a kört metszi $ C$-ben és $ D$-ben.

$ 2^{\circ}$. $ CP$ metszi $ e$-t $ E$-ben.

$ 3^{\circ}$. Felvesszük az $ ED$ egyenest.

$ 4^{\circ}$. $ P$-ből merőlegest húzunk $ e$-re, ez kimetszi $ ED$-ből a keresett $ P'$ pontot.

Megjegyzések: Ismét az ábra tengelyes szimmetriáját használtuk ki, csak most a külső $ P$ pont miatt két merőlegest kellett szerkesztenünk. De a szerkesztés ugyanígy lépésenként végrehajtható akkor is, ha a $ P$ pont a körön belül van.

A kör középpontjának szerepe

Nehezebb a szerkesztési feladat akkor, ha az $ e$ egyenes nem átmérője az adott körnek. Ekkor új ötletre van szükség (ez lesz a trapéztrükk).

Először figyeljük meg, hogy az eddigi szerkesztések során egyedül a 6. feladat első megoldása használta fel az $ O$ pontot, az adott kör középpontját. A többi megoldásban $ O$-ra nem volt szükség, a körközéppont ismerete nélkül is végrehajthatók voltak a szerkesztések.

A továbbiakban egy olyan módszert mutatunk, amely három ekvidisztáns helyzetű pont esetén alkalmazható. ($ A$, $ B$, $ C$ egy egyenesen lévő pontok ekvidisztáns helyzetűek, ha például $ AB=BC$.) Ha a korábbi szerkesztésekben ismerjük az $ O$ pontot, akkor ennek alapján további megoldási lehetőségekhez jutunk, mert ekkor az adott $ A$, $ O$, $ B$ pontok ekvidisztáns helyzetűek.

8. feladat (segédfeladat – trapéztrükk): Adott az $ e$ egyenesen három ekvidisztáns helyzetű $ A$, $ B$, $ C$ pont ($ AB=BC$). Szerkesztendő csak vonalzóval külső $ P$ ponton keresztül $ e$-vel párhuzamos egyenes.

Megoldás:

$ 1^{\circ}$. Az $ AP$ egyenesen felveszünk egy tetszőleges $ Q$ pontot.

$ 2^{\circ}$. Felvesszük a $ QB$ egyenest.

$ 3^{\circ}$. Felvesszük a $ PC$ egyenest, ez metszi $ QB$-t $ M$-ben.

$ 4^{\circ}$. Meghúzzuk a $ QC$ egyenest.

$ 5^{\circ}$. Az $ AM$ egyenes metszi $ QC$-t $ D$-ben.

Állítás: $ PD$ párhuzamos $ e$-vel.

Bizonyítás: A trapézok egy ismert tulajdonságát használjuk fel. Bármely $ ACDP$ trapézban, ha az átlók $ M$ metszéspontján át párhuzamost húzunk az alapokkal, akkor a szárakkal vett $ E$, $ F$ metszéspontokra $ EM=MF$. Emiatt az $ ACQ$ kiegészítő sháromszög $ QB$ súlyvonalán rajta van $ M$; a szerkesztés során ennek a tételnek a megfordítását használtuk fel.

Alkalmazhatjuk Ceva tételét is az $ ACQ$ háromszögben. Az $ AD$, $ BQ$, $ CP$ transzverzálisok egy ponton mennek át, ezért $ PA\cdot BC\cdot DQ=QP\cdot AB\cdot CD$. Innen $ \frac{QP}{QD}=\frac{PA}{DC}$, és a párhuzamos szelők tételének megfordításához ennyi elég, $ AC$ és $ PD$ párhuzamosak.

Bevezetünk egy új definíciót: ha egy egyenesen adott három ekvidisztáns helyzetű pont, akkor irányegyenesnek nevezzük. (A trapéztrükkel azt mutattuk meg, hogy külső pontból adott irányegyenessel tudunk párhuzamost szerkeszteni úgy, hogy csak vonalzót használunk.)

A trapéztrükk segítségével a 7. feladat szerkesztését akkor is el tudjuk végezni, ha a $ P$ pont az adott körön van.

9. feladat: Adott egy $ e$ egyenes és egy $ k$ kör, amelynek $ O$ középpontja az egyenesen van. Továbbá legyen az adott $ P$ pont a körön. Tükrözzük a $ P$ pontot az $ e$ egyenesre úgy, hogy további kört már nem rajzolhatunk!

Megoldás:

A $ k$ kör és $ e$ két metszéspontja legyen $ A$ és $ B$. Mivel $ A$, $ O$, $ B$ ekvidisztáns pontok, így $ e$ irányegyenes.

$ 1^{\circ}$. $ P$-n keresztül párhuzamost szerkesztünk $ e$-vel. Az így kapott $ f$ egyenes másodszor $ C$-ben metszi $ k$-t.

$ 2^{\circ}$. Felvesszük a $ CO$ egyenest, ami $ D$-ben metszi a kört.

Készen vagyunk: Thalész tétele miatt $ CPD\sphericalangle =90^{\circ}$, így $ P$-nek $ e$-re vonatkozó tükörképe $ D$.

Még megoldunk két segédfeladatot.

10. feladat (segédfeladat – párhuzamos húzása): Adott az $ O$ középpontú $ k$ kör. Szerkesszünk csak vonalzó felhasználásával külső $ P$ ponton keresztül adott $ e$ egyenessel párhuzamos egyenest!

Megoldás:

A feladat tulajdonképpen három ekvidisztáns pont szerkesztése $ e$-re, mert így akkor $ e$ irányegyenes lesz. (És vele párhuzamos egyenes már szerkeszthető a trapéztrükkel.)

$ 1^{\circ}$. Az $ e$ egyenes tetszőleges $ A$ pontját összekötjük $ O$-val. Az így kapott $ f$ egyenes metszéspontjai $ k$-val $ B$ és $ C$.

$ 2^{\circ}$. $ f(B,O,C)$ irányegyenes, így az $ e$ egyenes egy $ D$ pontjából párhuzamost húzunk $ f$-fel úgy, hogy az egyenes két pontban metssze $ k$-t. A metszéspontokat jelölje $ E$ és $ F$.

$ 3^{\circ}$. Az $ EO$ egyenes metszi $ k$-t $ G$-ben, az $ FO$ egyenes pedig metszi $ k$-t $ H$-ban.

$ 4^{\circ}$. A $ GH$ egyenes metszi $ e$-t $ I$-ben.

Állítás: $ IA=AD$. Ugyanis $ EFGH$ téglalap, amelyben $ f$ középvonal, így a három párhuzamos egyenes ekvidisztáns pontokban metszi $ e$-t.

Készen vagyunk: $ e$ irányegyenes lett, a trapéztrükk alkalmazható.

$ 5^{\circ}$. Az $ e$ irányegyenes segítségével megszerkesztjük a $ P$-n átmenő párhuzamos egyenest.

Megjegyzés: A 2. lépésben fordítva is eljárhatunk: az $ f(B,O,C)$ irányegyenessel párhuzamost húzhatunk a kör egy tetszőleges pontján át. Ha például az ábra szerinti $ E$ ponton keresztül húzunk párhuzamost, akkor ez kijelöli a $ D$ pontot.

11. feladat (segédfeladat – $ AB$ szakasz eltolása): Adott az $ O$ középpontú $ k$ kör, valamint az $ A$, $ B$, $ C$ pontok. Toljuk el az $ AB$ szakaszt úgy, hogy az $ A$ pont $ C$-be kerüljön!

Megoldás:

A $ B$ pont képét jelölje $ D$.

I. eset: Ha $ A$, $ B$, $ C$ háromszöget alkot, akkor $ ABDC$ paralelogramma, amelynek szemközti oldalai párhuzamosak.

Ekkor a 10. segédfeladat alapján párhuzamost húzunk $ AB$-vel $ C$-n keresztül, és $ AC$-vel $ B$-n keresztül. A két egyenes metszéspontja $ D$.

II. eset: Ha $ A$, $ B$, $ C$ egy egyenesbe esik.

Ekkor viszont az egyenesen kívül eső tetszőleges pontba eltolhatjuk az $ AB$ szakaszt (I. eset). Az így kapott $ A'B' $szakasz és $ C$ már nem esik egy egyenesre, alkalmazhatjuk az I. eset szerkesztését: az $ A'B' $ szakaszt eltoljuk úgy, hogy $ A'$ $ C$-be kerüljön.

Ha tehát a kör már adott a szerkesztés kezdetekor

A 8., 10. és 11. segédfeladatokkal most már elvégezhetjük a kitűzött szerkesztésünket.

12. feladat: Adott egy egyenes, egy külső $ P$ pont és egy $ O$ középpontú kör. Tükrözzük a $ P$ pontot az egyenesre úgy, hogy további kört már nem rajzolhatunk!

Megoldás:

I. eset: Ha az adott $ e$ egyenes metszi a $ k$ kört, akkor a metszéspontokat jelölje $ A$, $ B$. (Feltehetjük, hogy $ AB$ nem átmérő; ezt az esetet a fentiekben már részletesen tárgyaltuk.)

$ 1^{\circ}$. Az $ AO$ egyenes metszi $ k$-t $ C$-ben.

$ 2^{\circ}$. Felvesszük az $ f(CB)$ egyenest. Ez merőleges $ e$-re Thalész tétele miatt.

$ 3^{\circ}$. $ P$-ből párhuzamost szerkesztünk $ f$-fel (10. segédfeladat), ez az egyenes $ D$-ben metszi $ e$-t.

$ 4^{\circ}$. Végül $ PD$ szakaszt két lépésben eltoljuk úgy, hogy a $ P$ pont $ D$-be kerüljön (11. segédfeladat).

Az így kapott $ DP'$ szakasz $ P'$ pontja lesz $ P$ tükörképe.

II. eset: Ha az adott $ g$ egyenes nem metszi a $ k$ kört.

Ekkor a kör tetszőleges $ A$ pontjából párhuzamost húzunk $ g$-vel. Így megkapjuk az előző I. eset $ e$ egyenesét, a feladatot visszavezettük I. megoldására. (És persze akkor is végrehajthatjuk a szerkesztést, ha $ g$ éppen érinti a kört.)

Zárás

Ha már eddig eljutottunk a szakkörön, akkor talán érdemes Steiner nevezetes szerkesztési tételét is megbeszélni. A „csakvonalzós” tétel szerint az euklideszi szerkesztések (két egyenes metszéspontjának, egyenes és kör metszéspontjainak, két kör metszéspontjainak szerkesztése) elvégezhetők csak vonalzó használatával is, ha adott a síkon egy kör, amelynek a középpontját ismerjük.

Orosz Gyula
Budapesti Fazekas Mihály Gyakorló Általános Iskola és Gimnázium

 

15. szám 2020. március

Még több cikk

Az Érintő 2020-as első számának megjelenését március 14-ére időzítettük. Ezen a napon van ugyanis a Matematika Világnapja! 2020-ban ez az első ilyen hivatalos ünnep, amelyet a Nemzetközi  Matematikai Unió javaslatára 2019. novemberében fogadott el az UNESCO. Az első, úgynevezett „pi-nap” 1988. márc. 14-én volt: a dátum, a 3.14 a ℼ két tizedes jegyre kerekítve. Persze a magyar matematikusok már évtizedekkel korábban is remek pi-verseket írtak. Tovább...

A Szegedi Tudományegyetem Bolyai Intézetének hat matematikusa – Boldog Péter, Tekeli Tamás, Vizi Zsolt, Dénes Attila, Bartha Ferenc és Röst Gergely – azt modellezte, hogy az egyes országokban mekkora a veszélye egy Kínán kívüli járványkitörésnek. A matematikai modellek alkalmazása igen hatékony módszer lehet a járványok elleni küzdelemben. Segítségükkel pontosabb becsléseket adhatunk a COVID-19 járvány fő paramétereire – mint az inkubációs időszak és a fertőző időszak hossza, vagy a járvány reprodukciós száma –, előre jelezhetjük a járvány jövőbeli terjedését, kiértékelhetjük az eddigi intézkedések hatását, esetleg új intézkedéseket javasolhatunk. Tovább…

A π-ről már a régi görögök is tudtak: bármely két kör hasonló, ezért bármely kör kerületének és átmérőjének aránya ugyanannyi. Arkhimédész beírt és körülírt szabályos sokszögekkel próbálta megközelíteni az egységnyi átmérőjű kör kerületét. Ám a π, bár görög betű, nem az ógörögöktől, de még csak nem is az ókorban kapta a nevét. Írásos feljegyzések szerint William Jones walesi matematikus használta először a π-t a kör kerületének (periféria) és átmérőjének arányára egy 1706-ban megjelent munkájában. Ezt a jelölést vette át Leonhard Euler svájci matematikus az 1730-as években, és innen terjedt el a világon. Fried Katalin gyűjtött össze néhány érdekes, hasznos tudnivalót. Tovább...

Az Úton-módon sorozat második részében Szoldatics József ismét egy geometria példát mutat meg, és mindazt, ami róla az eszébe jutott... A 2019 évi Nemzetközi Magyar Matematikaverseny egyik, 9. osztályosoknak szóló feladatát Erdős Gábor (Batthyány Lajos Gimnázium, Nagykanizsa) javasolta. A feladatra matematika tanárok egy csoportja 20 elemi megoldást adott. Ezek közül a közölt hét megoldás mindegyike a maga nemében szép, vagy valami szép tulajdonságot használ. Tovább...

Hogyan képesek megvédeni modern társadalmunkat a számok? Hogyan lehetséges az, hogy technikai civilizációnk léte vagy nem léte múlik olyan dolgokon, amelyek csak a képzeletünkben léteznek? Ilyen kérdéseken gondolkodik Moldvai Dávid, aki egy azok közül, akik szerint a matematikusok világa meglehetősen elvont és furcsa. A „kívülálló”, akit az információelmélet és a kriptográfia érdekel, elindította a youproof.hu blogot. Olvassák, érdemes! Tovább…

A szerző, B. A. Korgyemszkij (1907–1999) az orosz nyelvű matematikai ismeretterjesztés legfontosabb alakja volt. Nem ez az első könyve magyarul sem, például 1962-ben jelent meg tőle a Matematikai fejtörők. Az ismertetendő könyv viszont az utolsó, amit írt. A feladatok kis történetek formájában jelennek meg, amelyekben az orosz népmesék és szépirodalom számos alakjával találkozunk. Rovatszerkesztőnk, Tóth János nosztalgiával és iróniával fűszerezett kedvcsinálója következik. Tovább…

Harcos Gergelyt már óvodásként is különösen érdekelték a számok, amiket egy ösvénynek tekintett. Középiskolás korában nyáron élvezettel oldott meg egyre több és több feladatot a Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapokból (egyetemi évei végén pedig már a matematika szerkesztőbizottság tagjaként dolgozott). 10 évet töltött Amerikában matematikus kutatóként, majd 2006-ban települt vissza családjával Magyarországra. Tudományos tanácsadó a Rényi Alfréd Matematikai Kutatóintézetben.

Orosz Gyula diákjai a szakkörön a 9. osztály egyik legkönnyebb szerkesztési feladatából kiindulva lépésenként eljutnak egy jóval nehezebb problémához: Adott egy egyenes, egy külső P pont és egy O középpontú kör. Tükrözzük a P pontot az egyenesre úgy, hogy további kört már nem rajzolhatunk! Azaz a szerkesztéshez csak egyetlen kört, azon túl pedig csak vonalzót használhatunk. Az eszközkorlátozott szerkesztések témaköre önállóan is érdekes. Általában nem igényel mélyebb előismereteket, ezért a tanulók kedvelni szokták, a dinamikus geometriai szoftverekkel pedig maga a szerkesztés technikai végrehajtása sem túl fáradságos. Tovább...

Daniel Tammet: Számokban létezünk című könyve már szerepelt az Érintő előző számában, most egy teljesen más recenziót olvashat róla az érdeklődő, az előzőt egy gyógypedagógus írta, ezt pedig egy matematikus, Ruzsa Imre. Ezért neki egészen más dolgok jutnak az eszébe ugyanarról a műről. Véleménye szerint: „A könyv műfaja: vegyesfelvágott; szerző olvas mindenfélét, erről mindenféle eszébe jut, és ezeket leírja. Sokfélét összeolvas és élénken jár a fantaziája, úgyhogy a könyv általaban szórakoztató.” Tovább...

Füredi Zoltán minden évben nyert az országos középiskolai versenyeken, de a tehetség mellett a sikerhez az is hozzájárult, hogy előre kiolvasta a speciális matematika tagozat négy évfolyamának tankönyveit, és legalább húszezer feladatot megoldott. Évfolyamának egyik legjobb matematikusa, aki kívülről tudta József Attila verseit. Több mint 20 évet töltött félig az Amerikai Egyesült Államok különböző egyetemein, félig a Rényi Alfréd Matematikai Kutatóintézetben. Ma a kombinatorika nemzetközi hírű kutatóprofesszora.

A Wolfram nyelv (archaikusan: Mathematica) többször is szerepelt már folyóiratunk hasábjain, de mivel nem elégszer, ezért most Tóth János ismertet néhány aktuális érdekességet folytatva a programozásról szóló előző írását. Amint bizonyára mindenki jól emlékszik, ott alapvető ismeretekről (a Map és az Apply függvényről) volt szó, itt viszont a másik végletről. Egészen összetett feladatok ellátására képes függvényekről.  (Képünk forrása: Computational intelligence, wolframalpha.com.) Tovább...

2019 decemberében a Szegedi Tudományegyetem Bolyai Intézetének vendége volt Philip Maini, az Oxfordi Egyetem professzora, a matematika biológiai alkalmazásainak világszerte egyik legnevesebb kutatója. Érdekes előadásáról, amelyet A biológiai és kémiai önszerveződés matematikája címmel tartott a Bolyai Intézet hagyományos karácsonyi szemináriumán, Dénes Attila számol be. Tovább…

A fejlett országokban is megfigyelhető az az aggasztó jelenség, hogy csökken a diákok érdeklődése a természettudományok, a technológia, a műszaki tudományok iránt, miközben egyre nagyobb szükség van ezeken a területeken széles látókörrel, komplex problémamegoldó képességgel és nagyfokú flexibilitással  rendelkező szakemberekre. A BME Természettudományi Kara Science Camp néven 2016. óta szervez ingyenes természettudományos tábort hazai és határon túli középiskolás diákoknak. Lángné Lázi Márta számol be az eddigi tapasztalatokról. Tovább…

Az előző évtizedben két olyan matematikust is Fields-éremmel díjaztak (Cédric Villani 2010, Alessio Figalli 2018), akiknek munkájában az optimális transzport probléma jelentős szerepet játszott. A probléma születését Gaspard Monge 1781-ben publikált művéhez, (egyik) újászületését pedig Leonyid Vitaljevics Kantorovics 1942-es dolgozatához kötik. (Ő látható címképünkön, Petrov-Vodkin 1938-ban készült festményén.) Ebben a rövid írásban Titkos Tamás bemutatja a transzport probléma Monge- és Kantorovics-féle megfogalmazásait. Tovább...

A Bolyai János Matematikai Társulat 2019-es díjainak kiosztására, valamint a Kürschák József Matematikai Tanulóverseny és a Schweitzer Miklós Matematikai Emlékverseny eredményhirdetésére december 11-én került sor. A Szele Tibor Emlékérem, a Grünwald Géza Emlékérem, a Farkas Gyula Emlékdíj és a Rényi Kató Emlékdíj szabályzata, megemlékezve a névadókról is, a Társulat honlapján itt olvasható. Híradásunk ismerteti a díjazottakat, akiknek nevére kattintva olvashatják méltatásukat.Tovább...

A matematika és fizika tudománya évszázadok óta kart karba öltve fejlődik. A fizika a matematika nyelvén fogalmazza meg törvényeit, igényei pedig hatással vannak a matematika fejlődésére. Az iskolában azonban találkozunk azzal a problémával, hogy fizikaórán már alkalmazás szinten kellene használni a tanulónak olyan matematikai összefüggéseket, amelyekkel a matematikaórán még alig, vagy egyáltalán nem találkozott. A fizikatanár sokszor rákényszerül arra, hogy bevezesse a hiányzó matematikai ismereteket. Bakosné Novák Andrea saját tapasztalait is átadja, bemutatva, milyen lehetőségeket ad hozzá a matematika tanításához a fizika. Tovább...

Jim Holt legújabb könyve nemrég jelent meg Magyarországon Jakabffy Éva és Jakabffy Imre fordításában, a Typotex Kiadó gondozásában. Az ismertetett témák tág területen kalandoznak: találkozhatunk a Riemann-sejtéssel és a négyszíntétellel, húrelmélettel és az univerzum végére vonatkozó elméletekkel, olvashatunk Ada Byron és a számítógéptudomány kapcsolatáról, vagy éppen az idő természetéről és az eugenetikáról. Lángi Zsolt recenziója itt olvasható. Tovább...

2018. júniusi számunkban értesülhettek a 2. Formális reakciókinetikai szimpóziumról. 2020. január 9.-én és 10.-én sor került a harmadikra is a BME H épületében, evvel a címmel: 3rd Workshop on Formal Reaction Kinetics and Related Areas. A szűk értelemben vett elmélet mellett tehát idén helyet kaphattak járványtani, génszabályozási vagy rákkutatási témák is. Bővült a résztvevők és az érdeklődő intézmények, országok száma. A miniszimpóziumról Tóth János minibeszámolója következik. (Bevezető képünket a molekulák ritka és sűrű ütközéseiről Sadi Carnot készítette.)Tovább…