Matematikai blog egy „kívülálló” tollából – Elindult a youproof.hu
Hogyan képesek megvédeni modern társadalmunkat a számok? Hogyan lehetséges az, hogy technikai civilizációnk léte vagy nem léte múlik olyan dolgokon, amelyek csak a képzeletünkben léteznek? Vajon a modern számelmélet mai, jelenleg még csak elméleti jelentőségű eredményei mit fognak jelenteni 200 év múlva, az akkori társadalom számára?
A nevem Moldvai Dávid. Egy vagyok azok közül, akik szerint a matematikusok világa meglehetősen elvont és furcsa. Azonban informatikusként nap mint nap − akár tudtomon kívül is − kapcsolatba kerülök mindazokkal a számelméleti vívmányokkal, amelyek akár csak 100 évvel ezelőttig sem számítottak egyébnek, mint érdekes, de viszonylag haszontalan logikai játékoknak. A helyzet azóta jelentősen megváltozott, és ezek az egykor haszontalan játékok egy csapásra a mindennapjaink részévé váltak az információelmélet és a kriptográfia tudományán keresztül. Már korai tanulmányaim alatt, de főként az egyetemen kezdett el érdekelni az ezek mögött lévő számelmélet és a hozzá szorosan kapcsolódó absztrakt algebra. Minthogy az informatika szakon ezeket a témaköröket csak alapszinten oktatják, ezért egy időre kénytelen voltam megelégedni ezekkel az alapszintű válaszokkal.
Időközben azonban kezembe került Simon Singh nagy sikerű könyve a nagy Fermat-sejtés megoldásának történetéről. Korábban is hallottam már erről a sejtésről, de ebben a könyvben olvastam először arról, hogy milyen drámai fordulatokat hozott az elmúlt 350 év matematikatörténetében. Igazán az nyűgözött le benne, hogy egy olyan állításról van szó, amelyet egy általános iskolás gyerek is megért. Nevezetesen: az xn + yn = zn egyenletnek nincs megoldása a pozitív egész számok körében, ha n > 2. Pierre de Fermat ezt az állítást Diophantosz Aritmetika című könyvének margójára írta fel a 17. században azzal a megjegyzéssel, hogy bizonyítani is tudja, ám az „sajnos nem fér el a margón”. A meglehetősen marginális kérdés − az előbbiek alapján szó szerinti értelemben is − megoldására tett kísérletek mégis óriási fejlődést hoztak a számelmélet központi jelentőségű kérdéseiben is.
A történet végül 1995-ben ért véget, amikor az Andrew Wiles (aki egyébként gyermekkorától megszállottja volt a problémának) által publikált elképesztően absztrakt bizonyításból kiderült, hogy a fenti egyszerű állítás egy sokkal nagyobb jelentőségű ténynek, nevezetesen a matematika két, addig egymástól teljesen függetlennek hitt területe közötti nagyon mély kapcsolatnak egy (egyébként teljesen mellékes) következménye. Ezt a rejtélyes kapcsolatot akkoriban a számelmélet egyik központi nyitott kérdése, a Taniyama−Shimura-sejtés fogalmazta meg. Manapság ez az állítás − köszönhetően nagyrészt Wiles úttörő munkájának − modularitási tétel néven ismeretes. Sajnos az említett könyvből ennél többet nem lehetett megtudni a részletekről, ezért végzett egyetemistaként naívan megkerestem a publikált bizonyítást az Interneten. Ám viszonylag hamar világossá vált számomra, hogy miért volt olyan szűkszavú az említett könyv a matematikai részletek tekintetében, ugyanis szinte minden egyes mondatban a megértéshez szükséges előismeretek végtelen tárháza bontakozik ki a matematika legkülönfélébb területeiről.
Jónéhány évvel később olvastam Simon Singh egy másik könyvét, ami a Kódkönyv címet viseli, és a kriptográfia történetéről szól. Itt is sokkal inkább az olvasmányosságon, és így a tudományos és történelmi érdekességeken van a hangsúly, mintsem a modern rejtjelezési eljárások mögötti számelméleti részleteken. Általánosságban is megfigyelhető, hogy a tudományos − de legalábbis a matematikai − irodalomban alapvetően két véglet létezik. Az egyik végletet a valódi publikációk jelentik, amelyekből valódi válaszokat kaphatunk. Ezekkel az a probléma, hogy csak a „bennfentesek” számára érthetők. Azok számára, akik az adott tudományterületet napi szinten művelik. Az előképzettség nélküli, de érdeklődő „kívülálló” joggal érezheti magát kirekesztettnek, amikor egy ilyet megkísérel befogadni. A másik végletet pedig azok a művek jelentik, amelyek az említett „kívülállók” számára olvasmányosan mesélnek az adott témakörről, ám a valódi válaszokat elfedik, mondván: azt úgysem lehet megérteni előképzettség nélkül.
Mivel az egyetemen a kriptográfia volt az egyik kedvenc témám, ezért feltettem magamnak a kérdést: Miért ne lehetne akár valódi válaszokról is olvasmányosan írni ebben a témakörben? Ekkor merült fel egy könyv írásának ötlete, amelyben az Olvasó és szerző egymással karöltve, mindketten „kívülállóként”, azaz mindenféle előképzettség feltételezése nélkül kezdi meg a téma megismerését a nulláról indulva, hogy aztán a könyv végére megkapja a valódi válaszokat. Egy ilyen írás akkor érheti el a célját, ha ügyesen lavírozik az olvasmányosság és a matematikai részletek között. Végül azonban úgy döntöttem, hogy első körben könyv helyett egy blogot indítok.
A blog főoldala itt található: https://youproof.hu
E döntésnek alapvetően két oka volt. Egyrészt szerettem volna egyfajta visszajelzést kapni arról, hogy egy ilyen jellegű − véleményem szerint hiánypótló − írással mekkora célközönségre számíthatok. Másrészt, ahogy magam is fokozatosan elmélyültem a témában, egyre több kapcsolódási pontot véltem felfedezni a Fermat-sejtéssel kapcsolatos témakörökhöz. Úgy gondoltam, hogy az ezek megismerése során kialakuló gondolataim talán kellő nyersanyagot szolgáltathatnak újabb érdekes cikksorozatok megírásához, amelyek így már nem férnének bele egyetlen könyv keretei közé. Elképzelésem szerint az Olvasó és a szerző kéz a kézben haladna előre ebben az útvesztőben, miközben semmi másra nem támaszkodhatnak, kizárólag a logika végtelenül egyszerű, de roppant szigorú szabályaira, hiszen ugye mindketten „kívülállók”.
A kriptográfiáról szóló első cikksorozat is elsősorban ebben a szellemben készül, amelynek eddig megjelent részei itt érhetők el: https://youproof.hu/kriptografia
Ez a sorozat alapvetően 3 nagyobb részre osztható. Az első 10 rész a kriptográfia gyakorlati – és minimálisan a történelmi – vonatkozásait járja körbe némi információ- és algoritmuselméleti, nem túl mély kitérőkkel és érdekességekkel. Ezután a 11. résztől kezdve szisztematikusan bevezeti az Olvasót a matematika alapvető működési mechanizmusába azáltal, hogy a legalapvetőbb számelméleti fogalmakat egészen a Peano-axiómarendszerből kiindulva építi fel, melynek során megismerjük a gyűrűkkel kapcsolatos alapfogalmakat is. Végül a 16. résztől kezdve a nyilvános kulcsú titkosítási eljárásokhoz szükséges számelméleti összefüggések részletes ismertetése következik az RSA-algoritmusig és különböző prímtesztelési eljárásokig bezárólag. Ennek során a kapcsolódó absztrakt algebrai vonatkozások is részletesen előtérbe kerülnek. A teljesség igénye nélkül: oszthatóság gyűrűkben, egység, asszociált, felbonthatatlan és prímtulajdonságú elemek, a számelmélet alaptétele gyűrűkben, kitüntetett közös osztó, maradékos osztás, euklidészi gyűrűk, gyűrűhomomorfizmusok, maradékosztálygyűrűk, ideálok és ideál szerinti kongruenciák, főideálgyűrűk, stb. Ezekkel ugyanis már a következő cikksorozatokat szeretném megalapozni.
A tervezett folytatás
Körvonalazódik egy második sorozat, amely már a Fermat-sejtés elleni szélmalomharc egyik fordulópontjáról szól. Történt ugyanis, hogy a Francia Akadémia 1847. március 1-jén tartott ülésén Gabriel Lamé tartott egy előadást, melynek során bejelentette, hogy bizonyítani tudja a sejtést. Ígéretet tett, hogy a bizonyítást heteken belül publikálja. Alighogy Lamé elhagyta a pódiumot, a kor másik kiemelkedő matematikusa, Augustin Cauchy jelentkezett szólásra. Bejelentette, hogy ő is rendelkezik egy teljes bizonyítással, így világossá vált, hogy a két matematikus között kiélezett a verseny a legrangosabb elismerésért − és persze a vele járó tekintélyes összegért − folytatott harcban.
Miközben folyt a találgatás, hogy kié lesz végül a dicsőség, május 24-én drámai fordulat következett be, amikor Joseph Liouville ismertette az akadémián egy német matematikus, egy bizonyos Ernst Kummer levelét. Ebben a levélben az állt, hogy a Cauchy és Lamé által nyilvánosságra hozott információk alapján úgy tűnik, mindketten beleestek ugyanabba a logikai hibába, és így egyikük bizonyítása sem lehet helyes. Ugye már az általános iskolában is megtanultuk a számelmélet alaptételét, miszerint minden egész szám (a tényezők sorrendjétől eltekintve) egyértelműen írható fel prímszámok szorzataként. Például a 12 prímtényezős felbontása 2∙2∙3, és más felbontás nem is létezik. Az egész számok és a hozzá kapcsolódó fogalmak − így például a prímszámok és maga a számelmélet alaptétele is − általánosíthatók a fentebb már említett gyűrűkre.
Kummer rámutatott, hogy Cauchy és Lamé egyaránt épített arra a feltételezésre, miszerint a számelmélet alaptételével analóg állítás igaz bizonyos gyűrűkben, ám ezt a feltételezést elfelejtették bizonyítani. A kriptográfiáról szóló cikksorozat részletesen foglalkozik ennek feltételeivel, mivel ez a kérdés alapvető fontosságú a rejtjelezési eljárások szempontjából is. Kummer megmutatta, hogy Cauchy és Lamé feltételezése hibás volt, ám sikerült befoltoznia ezeket a logikai hézagokat az úgynevezett ideális számok bevezetésével. Ezek segítségével a számelmélet alaptétele azokban a gyűrűkben is érvényessé válik, amelyekre az említett bizonyítások építenek. A dolog hátulütője viszont, hogy muszáj hozzá bevezetni az úgynevezett reguláris prímek fogalmát, mivel a bizonyítás csak ezekre működik. Kummer továbbá arra is rámutatott, hogy a többi (azaz az irreguláris) prímet az akkori matematikai eszközökkel nem lehet egységesen kezelni, azok mindegyikével külön-külön, valamilyen egyedi módszerrel kell elbánni. Ami még inkább elkeserítő, hogy egyrészt azóta már tudjuk, hogy sajnos végtelen sok irreguláris prím létezik, az viszont még a mai napig sem tisztázott, hogy vajon ez igaz-e a reguláris prímekre.
Kummer eredménye a sejtés szempontjából ugyan csúfos kudarcnak tekinthető, ám részben ebből fejlődtek ki azok a 20. századi eredmények (többek között például az Iwasawa-elmélet), amelyekkel végül sikerült megoldani ezt a bosszantó rejtvényt. Így a második cikksorozatból reményeim szerint Kummer korszakalkotó munkájának részleteit ismerheti majd meg az Olvasó, és természetesen vele együtt én magam is, hiszen − mint már említettem − magam is „kívülállónak” számítok.
Jövőbeli tervek
A további cikksorozatok témája is szorosan kapcsolódni fog a Fermat-sejtéshez és a Kummer utáni idők eredményeihez. Yves Hellegouarch „Invitation to the Mathematics of Fermat−Wiles” című könyve minden bizonnyal fontos iránytűként fog szolgálni ehhez, amely lényegében az ehhez szükséges matematikai elméletek egyfajta vázlatos összefoglalója. Nem mellesleg Hellegouarch-nak fontos szerepe volt a Fermat-sejtés megoldásában, mivel ő és Gerhard Frey vetették fel, hogy az talán a már említett Taniyama−Shimura-sejtésből következik. Ezt végül Ken Ribet amerikai matematikus igazolta 1986 nyarán, innen pedig már egyértelműen megnyílt az út Andrew Wiles számára: „mindössze” igazolnia kell a Taniyama−Shimura-sejtést.
Az persze számomra is kérdéses, hogy nem matematikusi végzettséggel milyen mélységekig lehet így eljutni. De bármi is lesz a történet vége, a cél mindenképpen adott: kirángatni ezt a rendkívül absztrakt tudományt az akadémiai falak közül, és közelebb hozni azokhoz, akik hozzám hasonlóan „kívülállóknak” érzik magukat, de komolyabban érdeklődnek a téma iránt. Remélem, hogy a tudományos világ képviselői, illetve nálam sokkal hozzáértőbb személyek is partnerek lesznek ebben, ez ugyanis egyetlen embernek lehetetlen vállalkozás.
A blog a közösségi médiában is jelen van, ahol érdeklődők és szakemberek egyaránt értesülhetnek a megjelenő tartalmakról, és ahol talán elkezdődhet egyfajta közösségépítés: https://www.facebook.com/youproof.hu
Moldvai Dávid