Állati mintázatok

Állati mintázatok

2019 decemberében a Szegedi Tudományegyetem Bolyai Intézetének vendége volt Philip Maini, az Oxfordi Egyetem professzora, a matematika biológiai alkalmazásainak világszerte egyik legnevesebb kutatója. Maini professzor Oxfordban végzett egyetemi tanulmányait követően Oxfordban és a Utahi Egyetemen is dolgozott, 1998 óta az Oxfordi Egyetem Wolfson Matematikai Biológiai Központjának igazgatója, Maini professzor kutatási területei közé tartozik a daganatok, a sebgyógyulás és az embrionális mintaképződés matematikai modellezése. Philip Maini amellett, hogy a Bolyai Intézet biomatematikai szemináriumának keretein belül a fiatal kutatók részére beszámolt a matematikai biológia területén végzett kutatással kapcsolatos tapasztalatairól, a Bolyai Intézet hagyományos karácsonyi szemináriumán is előadást tartott A biológiai és kémiai önszerveződés matematikája címmel.

PhilipMainiPhilip Maini előadása a Bolyai Intézet karácsonyi szemináriumán

Előadásában elsőként az állatok mintaképződéséről beszélt. Az ezzel kapcsolatos első matematikai modellek az elsősorban a számítástudomány területén elért eredményeiről és az Enigma feltöréséről ismert Alan Turing nevéhez fűződnek. Turing 1952-ben jelentette meg A morfogenezis kémiai alapjai című, a természetes minták képződésére vonatkozó elméletét leíró cikkét, melyben azt a gondolatot vetette fel, hogy a biológiai mintázatok egymással reagáló és diffundáló kémiai anyagok (morfogének) hatására alakulhatnak ki. Elmélete szerint kémiai anyagok rendszere, amely diffúzió nélkül stabil állapotba áll be, instabillá válik a diffúzió következtében.  Ez első hallásra hihetetlenül hangzik, hiszen a diffúzió (részecskék véletlenszerű áramlása) általában megszünteti a mintázatokat, gondoljunk csak egy vízbe ejtett tintacseppre.Turing elméletének matematikai alátámasztására egy olyan egyenletet alkalmazott, amelyet a matematikusok reakció-diffúzió egyenletnek hívnak.  A rendszer reakciót leíró részének van egy stabil egyensúlyi állapota, amely a teljes reakció-diffúzió rendszerben instabillá válik.

 

Reakció-diffúzió-egyenlet

A rendszer működését Maini professzor egy égő mezővel vont párhuzammal tette érthetővé: képzeljünk el egy mezőt, ahol tűz ég. Az égő tűz felforrósítja a füvet, meggyullad, vagyis a tűz önmagát aktiválja. A tűz azonban a mezőn élő szöcskéket is aktiválja, amelyek erősen izzadni kezdenek. Az izzadságuk akadályozza a tüzet (vagyis inhibitorként működik). Ha a tűz gyorsabban terjed, mint ahogy a szöcskék mozognak, az egész mező kiégett feketeséggé változik. Ha azonban a szöcskék gyorsabban ugranak, mint ahogy a tűz terjed, izzadságukkal megnedvesítenek bizonyos területeket, amelyekre nem tud átterjedni a tűz. Így végül a fekete mezőt zöld szigetek tarkítják, vagyis mintázat alakul ki.

turingTuring-mintázatok 
Forrás: https://en.wikipedia.org/wiki/Turing_pattern#/media/File:TuringPattern.PNG

A mintázat kialakulására rendelkezése álló felület nagysága fontos a mintázat bonyolultsága szempontjából: minél nagyobb a terület, annál bonyolultabb minta kialakulása várható. Példa erre a gepárd vagy a leopárd, amelyek bundájának összetett foltjai farkuk végén sávokká egyszerűsödnek. Érdekes módon ugyanezt a jelenséget figyelhetjük meg a futballmezek tervezésénél is: néhány kivételtől eltekintve a mezek ujjának mintázata egyszerűbb magának a meznek a mintájánál. Kivételek a természetben is akadnak, például a gyűrűsfarkú maki. Maini professzor előadásában példákat mutatott arra, hogy a kémiai reakciók során keletkező minták a természetben is mind megjelennek különböző állatok bundáján.

parducTuring-mintázatok és megfelelőik különböző állatfajokon

Előadása második felében Maini professzor gerjeszthető rendszerekről beszélt, azaz olyan rendszerekről, amelyekben bizonyos hullámok terjedhetnek, és amelyekben nem terjedhet újabb hullám bizonyos idő eltelte előtt.  Ennek kapcsán a professzor olyan mintázatokról beszélt, amelyek időben változnak. Példaként a Beluszov–Zsabotyinszkij-reakciót említette (olyan reakció, melynek során valamilyen szerves szubsztrátumot oxidálnak savas bromáttal átmenetifém-ionok jelenlétében). A reakciót leíró egyenletben néhány változó nagyon gyorsan változik, mások nagyon lassan, emiatt a rendszer hirtelen átugorhat egyik állapotból egy másikba. Az élővilágban hasonló jelenséget figyelhetünk meg a sejtes nyálkapenész nevű amőbánál (Dictyostelium discoideum). Ezek az amőbák tápanyaghiány esetén egy vegyületet bocsátanak ki, amelynek hatására összeállnak és egyebek mellett spórává differenciálódnak, ami segít a túlélésükben. Ebben a rendszerben olyan folyamatok játszódnak le (jelátvitel és sejtkommunikáció, kémiai mozgási ingerek, sejtdifferenciálódás), amelyek magasabb rendű élőlényekre jellemzőek, ezért egy kiváló fejlődésbiológiai modellrendszert szolgáltatnak.  Ez is egy gerjeszthető rendszer, és megfigyelték, hogy az amőbák csoportosulása során spirális hullámmintázatok alakulnak ki. Egy másik nyálkagombafaj, a Physarum polycephalum képes arra, hogy az egysejtűekből álló telep a lehető legrövidebb úton érje el a táplálékot. Az organizmusok számára kellemetlen ízű koffeint a gombák kikerülték, más típusú alakzatot kialakítva. Később a telepek rájöttek, hogy érdemes átküzdeni magukat az akadályokon található irritáló anyagokon. Mindezeket a mintázatokat parciális differenciálegyenletes modellekkel is vissza lehet adni. Alan Hodgkin és Andrew Huxley 1952-ben a tintahal axonjában generált akciós potenciál leírására alkottak modellt, feltételezve, hogy az idegmembrán inger hatására bekövetkező feszültségváltozása az akciós potenciál ionáramokkal írható le, és hogy az ioncsatornák nyitását és csukását a kémiai reakciók kinetikájának mintájára lehet leírni. A két tudós a tintahal axonjából kiváltott akciós potenciál alakját egyenleteik segítségével számítógépes szimulációkkal reprodukálta, munkájukért 1963-ban kaptak Nobel-díjat. Denis Noble és Peter Hunter a szív működését modellezték. A szív elektromos impulzus hatására húzódik össze, ami hullámként terjed tovább az egész szíven. Ha a szív egy része elhal pl. oxigénhiány miatt, az megzavarja a hullámokat, és spirálok keletkeznek, ami fibrillációhoz, szívrohamhoz vezet.

A példák sokaságával Maini professzor megmutatta, hogy a matematikai modellezés segítségével számos biológiai és kémiai folyamatot érthetünk meg sokszor meglehetősen kontraintuitív módon, és ezzel új kutatási irányokat is inspirálhatunk. A matematikai megközelítésben rejlő absztrakció teszi lehetővé, hogy az egyik alkalmazásban használt ötleteket átvigyük egy másik területre.

Köszönetnyilvánítás

A cikk az Emberi Erőforrások Minisztériuma ÚNKP-19-4 Kódszámú Új Nemzeti Kiválóság Programjának támogatásával készült.

Dénes Attila

tudományos munkatárs, SZTE Bolyai Intézet

15. szám 2020. március

Még több cikk

Az Érintő 2020-as első számának megjelenését március 14-ére időzítettük. Ezen a napon van ugyanis a Matematika Világnapja! 2020-ban ez az első ilyen hivatalos ünnep, amelyet a Nemzetközi  Matematikai Unió javaslatára 2019. novemberében fogadott el az UNESCO. Az első, úgynevezett „pi-nap” 1988. márc. 14-én volt: a dátum, a 3.14 a ℼ két tizedes jegyre kerekítve. Persze a magyar matematikusok már évtizedekkel korábban is remek pi-verseket írtak. Tovább...

A Szegedi Tudományegyetem Bolyai Intézetének hat matematikusa – Boldog Péter, Tekeli Tamás, Vizi Zsolt, Dénes Attila, Bartha Ferenc és Röst Gergely – azt modellezte, hogy az egyes országokban mekkora a veszélye egy Kínán kívüli járványkitörésnek. A matematikai modellek alkalmazása igen hatékony módszer lehet a járványok elleni küzdelemben. Segítségükkel pontosabb becsléseket adhatunk a COVID-19 járvány fő paramétereire – mint az inkubációs időszak és a fertőző időszak hossza, vagy a járvány reprodukciós száma –, előre jelezhetjük a járvány jövőbeli terjedését, kiértékelhetjük az eddigi intézkedések hatását, esetleg új intézkedéseket javasolhatunk. Tovább…

A π-ről már a régi görögök is tudtak: bármely két kör hasonló, ezért bármely kör kerületének és átmérőjének aránya ugyanannyi. Arkhimédész beírt és körülírt szabályos sokszögekkel próbálta megközelíteni az egységnyi átmérőjű kör kerületét. Ám a π, bár görög betű, nem az ógörögöktől, de még csak nem is az ókorban kapta a nevét. Írásos feljegyzések szerint William Jones walesi matematikus használta először a π-t a kör kerületének (periféria) és átmérőjének arányára egy 1706-ban megjelent munkájában. Ezt a jelölést vette át Leonhard Euler svájci matematikus az 1730-as években, és innen terjedt el a világon. Fried Katalin gyűjtött össze néhány érdekes, hasznos tudnivalót. Tovább...

Az Úton-módon sorozat második részében Szoldatics József ismét egy geometria példát mutat meg, és mindazt, ami róla az eszébe jutott... A 2019 évi Nemzetközi Magyar Matematikaverseny egyik, 9. osztályosoknak szóló feladatát Erdős Gábor (Batthyány Lajos Gimnázium, Nagykanizsa) javasolta. A feladatra matematika tanárok egy csoportja 20 elemi megoldást adott. Ezek közül a közölt hét megoldás mindegyike a maga nemében szép, vagy valami szép tulajdonságot használ. Tovább...

Hogyan képesek megvédeni modern társadalmunkat a számok? Hogyan lehetséges az, hogy technikai civilizációnk léte vagy nem léte múlik olyan dolgokon, amelyek csak a képzeletünkben léteznek? Ilyen kérdéseken gondolkodik Moldvai Dávid, aki egy azok közül, akik szerint a matematikusok világa meglehetősen elvont és furcsa. A „kívülálló”, akit az információelmélet és a kriptográfia érdekel, elindította a youproof.hu blogot. Olvassák, érdemes! Tovább…

A szerző, B. A. Korgyemszkij (1907–1999) az orosz nyelvű matematikai ismeretterjesztés legfontosabb alakja volt. Nem ez az első könyve magyarul sem, például 1962-ben jelent meg tőle a Matematikai fejtörők. Az ismertetendő könyv viszont az utolsó, amit írt. A feladatok kis történetek formájában jelennek meg, amelyekben az orosz népmesék és szépirodalom számos alakjával találkozunk. Rovatszerkesztőnk, Tóth János nosztalgiával és iróniával fűszerezett kedvcsinálója következik. Tovább…

Harcos Gergelyt már óvodásként is különösen érdekelték a számok, amiket egy ösvénynek tekintett. Középiskolás korában nyáron élvezettel oldott meg egyre több és több feladatot a Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapokból (egyetemi évei végén pedig már a matematika szerkesztőbizottság tagjaként dolgozott). 10 évet töltött Amerikában matematikus kutatóként, majd 2006-ban települt vissza családjával Magyarországra. Tudományos tanácsadó a Rényi Alfréd Matematikai Kutatóintézetben.

Orosz Gyula diákjai a szakkörön a 9. osztály egyik legkönnyebb szerkesztési feladatából kiindulva lépésenként eljutnak egy jóval nehezebb problémához: Adott egy egyenes, egy külső P pont és egy O középpontú kör. Tükrözzük a P pontot az egyenesre úgy, hogy további kört már nem rajzolhatunk! Azaz a szerkesztéshez csak egyetlen kört, azon túl pedig csak vonalzót használhatunk. Az eszközkorlátozott szerkesztések témaköre önállóan is érdekes. Általában nem igényel mélyebb előismereteket, ezért a tanulók kedvelni szokták, a dinamikus geometriai szoftverekkel pedig maga a szerkesztés technikai végrehajtása sem túl fáradságos. Tovább...

Daniel Tammet: Számokban létezünk című könyve már szerepelt az Érintő előző számában, most egy teljesen más recenziót olvashat róla az érdeklődő, az előzőt egy gyógypedagógus írta, ezt pedig egy matematikus, Ruzsa Imre. Ezért neki egészen más dolgok jutnak az eszébe ugyanarról a műről. Véleménye szerint: „A könyv műfaja: vegyesfelvágott; szerző olvas mindenfélét, erről mindenféle eszébe jut, és ezeket leírja. Sokfélét összeolvas és élénken jár a fantaziája, úgyhogy a könyv általaban szórakoztató.” Tovább...

Füredi Zoltán minden évben nyert az országos középiskolai versenyeken, de a tehetség mellett a sikerhez az is hozzájárult, hogy előre kiolvasta a speciális matematika tagozat négy évfolyamának tankönyveit, és legalább húszezer feladatot megoldott. Évfolyamának egyik legjobb matematikusa, aki kívülről tudta József Attila verseit. Több mint 20 évet töltött félig az Amerikai Egyesült Államok különböző egyetemein, félig a Rényi Alfréd Matematikai Kutatóintézetben. Ma a kombinatorika nemzetközi hírű kutatóprofesszora.

A Wolfram nyelv (archaikusan: Mathematica) többször is szerepelt már folyóiratunk hasábjain, de mivel nem elégszer, ezért most Tóth János ismertet néhány aktuális érdekességet folytatva a programozásról szóló előző írását. Amint bizonyára mindenki jól emlékszik, ott alapvető ismeretekről (a Map és az Apply függvényről) volt szó, itt viszont a másik végletről. Egészen összetett feladatok ellátására képes függvényekről.  (Képünk forrása: Computational intelligence, wolframalpha.com.) Tovább...

2019 decemberében a Szegedi Tudományegyetem Bolyai Intézetének vendége volt Philip Maini, az Oxfordi Egyetem professzora, a matematika biológiai alkalmazásainak világszerte egyik legnevesebb kutatója. Érdekes előadásáról, amelyet A biológiai és kémiai önszerveződés matematikája címmel tartott a Bolyai Intézet hagyományos karácsonyi szemináriumán, Dénes Attila számol be. Tovább…

A fejlett országokban is megfigyelhető az az aggasztó jelenség, hogy csökken a diákok érdeklődése a természettudományok, a technológia, a műszaki tudományok iránt, miközben egyre nagyobb szükség van ezeken a területeken széles látókörrel, komplex problémamegoldó képességgel és nagyfokú flexibilitással  rendelkező szakemberekre. A BME Természettudományi Kara Science Camp néven 2016. óta szervez ingyenes természettudományos tábort hazai és határon túli középiskolás diákoknak. Lángné Lázi Márta számol be az eddigi tapasztalatokról. Tovább…

Az előző évtizedben két olyan matematikust is Fields-éremmel díjaztak (Cédric Villani 2010, Alessio Figalli 2018), akiknek munkájában az optimális transzport probléma jelentős szerepet játszott. A probléma születését Gaspard Monge 1781-ben publikált művéhez, (egyik) újászületését pedig Leonyid Vitaljevics Kantorovics 1942-es dolgozatához kötik. (Ő látható címképünkön, Petrov-Vodkin 1938-ban készült festményén.) Ebben a rövid írásban Titkos Tamás bemutatja a transzport probléma Monge- és Kantorovics-féle megfogalmazásait. Tovább...

A Bolyai János Matematikai Társulat 2019-es díjainak kiosztására, valamint a Kürschák József Matematikai Tanulóverseny és a Schweitzer Miklós Matematikai Emlékverseny eredményhirdetésére december 11-én került sor. A Szele Tibor Emlékérem, a Grünwald Géza Emlékérem, a Farkas Gyula Emlékdíj és a Rényi Kató Emlékdíj szabályzata, megemlékezve a névadókról is, a Társulat honlapján itt olvasható. Híradásunk ismerteti a díjazottakat, akiknek nevére kattintva olvashatják méltatásukat.Tovább...

A matematika és fizika tudománya évszázadok óta kart karba öltve fejlődik. A fizika a matematika nyelvén fogalmazza meg törvényeit, igényei pedig hatással vannak a matematika fejlődésére. Az iskolában azonban találkozunk azzal a problémával, hogy fizikaórán már alkalmazás szinten kellene használni a tanulónak olyan matematikai összefüggéseket, amelyekkel a matematikaórán még alig, vagy egyáltalán nem találkozott. A fizikatanár sokszor rákényszerül arra, hogy bevezesse a hiányzó matematikai ismereteket. Bakosné Novák Andrea saját tapasztalait is átadja, bemutatva, milyen lehetőségeket ad hozzá a matematika tanításához a fizika. Tovább...

Jim Holt legújabb könyve nemrég jelent meg Magyarországon Jakabffy Éva és Jakabffy Imre fordításában, a Typotex Kiadó gondozásában. Az ismertetett témák tág területen kalandoznak: találkozhatunk a Riemann-sejtéssel és a négyszíntétellel, húrelmélettel és az univerzum végére vonatkozó elméletekkel, olvashatunk Ada Byron és a számítógéptudomány kapcsolatáról, vagy éppen az idő természetéről és az eugenetikáról. Lángi Zsolt recenziója itt olvasható. Tovább...

2018. júniusi számunkban értesülhettek a 2. Formális reakciókinetikai szimpóziumról. 2020. január 9.-én és 10.-én sor került a harmadikra is a BME H épületében, evvel a címmel: 3rd Workshop on Formal Reaction Kinetics and Related Areas. A szűk értelemben vett elmélet mellett tehát idén helyet kaphattak járványtani, génszabályozási vagy rákkutatási témák is. Bővült a résztvevők és az érdeklődő intézmények, országok száma. A miniszimpóziumról Tóth János minibeszámolója következik. (Bevezető képünket a molekulák ritka és sűrű ütközéseiről Sadi Carnot készítette.)Tovább…