Matematika nagyon máshogyan: a MateMorfózis elmúlt egy éve

Matematika nagyon máshogyan: a MateMorfózis elmúlt egy éve

Az Érintőben két cikk is megjelent már a MateMorfózis ismeretterjesztő előadássorozatról, amelyet matematikai képzettség szempontjából laikus közönségnek szervezek kulturális küldetésű szórakozóhelyeken, underground fesztiválokon: MateMorfózis – matematika máshogyan és Szingularitásokról a MateMorfózis sorozatában. Az utóbbi cikkben említett tavaly májusi „MateMorfózis házi védés" óta valószínűleg kevesebbet lehet hallani az előadássorozatról, azonban e közben nagyon izgalmas új irányok körvonalazódtak és kezdenek megvalósulni. Ilyenek az őszi matekos-táncos kísérletezés, a hamarosan elkészülő MateMorfózis könyv és a tavaszi képzőművészeti kiállítások matematikus megnyitói, beszélgetései. Ezekről nyújt rövid összefoglalót a cikk.

Az előadások

Kezdem a legkevésbé izgalmas, de fontos témával. Az előadások az elmúlt egy évben is folytak tovább, csak nem szerveztem külön előadássorozatot, mint eddig, hanem meghívásokat vállaltam el. 2018 nyarán elég sok hazai kisfesztiválon szerepelt MateMorfózis a kulturális-civil programok között, például Waldorfeszten, Kolorádón, Azure Művészeti Találkozón, Bánkitón, Bábel Táborban. Több helyen tartottunk Krizsán Levente fizikussal közös beszélgetést a gravitációs hullámokról és a hozzá kapcsolódó fizikai paradigmákról, erőről, gravitációról és különböző téridőelméletekről, mechanikai rendszerekről. Bár nem fesztivál, de ide sorolom a Rátz László Vándorgyűlést is, ahol a klasszikus MateMorfózis témákon éppen hogy csak túlmutató előadást tartottam a projektív sík (topológia) alakjáról a matektanárokból álló közönségnek. Az összerakott anyagnak helye lehet a középiskolák specmat osztályaiban is, mind precízségét, számonkérhetőségét, mind a tananyaghoz való kapcsolódását tekintve. Ősszel ugyanezzel a témával szerepeltem a Magyar Építőművészek Szövetségének szemináriumán. Október óta a többi ilyen jellegű meghívásom főleg középiskolákba szólt, és jelenleg is félév végi − nyár eleji iskolalátogatásokra, nyári táborokba készülök MateMorfózis jellegű programokkal. Ezeket részben az ELTE TTK illetve az Óbudai Egyetem Neumann Informatikai Kar szervezi. A Csodák Palotája is bevezette a matekos napokat, idén tavasszal tartották az elsőt hatalmas sikerrel, szeptemberben jön a folytatás.

Program a kishajmási Csepp Tanodában

A könyv

A legtöbbet formálódott, legkidolgozottabb előadásaimmal kapcsolatban egyszer csak rájöttem, hogy felfűzhetők egy fonálra, egyfajta újkori geometriai körképet tárva elénk. A könyv címe: Új világok teremtése. Ha minden jól megy, őszre elkészül, és a Typotex kiadónál jelenik meg. Hiperbolikus geometria nem lesz a könyvben, arról elég sokan írtak már elég jól, nem éreztem úgy, hogy bármit hozzá tudnék tenni. A könyvben szereplő témák szerintem ennél könnyebben érthetőek, más szinten rugaszkodnak el a háromdimenziós euklideszi világképtől, mint a hiperbolikus geometria − amelynek azonban kulcsfontosságú szerepe volt abban, hogy az "új világok" megnyílhattak a matematika számára. Mint a TEDxYouth előadásom bevezetőjében is említettem: Bolyai János apjához írt sorai akkor kuriózumnak számítottak, de az új világok teremtése azóta bevett eljárássá vált a matematikában − legalábbis az azóta kidolgozott irányokban.

Mindegyik fejezet egy-egy előadásomat dolgozza fel, némileg kiegészítve. Ezek kezdetben lazán, majd egyre meglepőbb módokon és egyre szorosabban kapcsolódnak egymáshoz. Önmagában egyik fejezetben sincsen semmi új, az ismeretterjesztő irodalomban ezek nagyrészt megtalálhatóak. A felépítése és a témák összefűzése az, ami miatt érdemesnek éreztem ezt a könyvet megírni. Amit még eredetinek érzek benne, és talán ez az egyik fő mondanivalója is, az a hétköznapi és a nagyon elvont(nak gondolt) gondolatok, jelenségek meglepő váltakozása és egymáshoz való viszonya. Négy- és többdimenziós terekkel kezdődik a könyv, alaposan megtárgyalva a fizikai és a matematikai térfogalom közötti funkcionális különbséget, és többrétűen kimerítő választ adva a "mire jó ez" és "hol van ez a valóságban" kérdésekre is. Ezeket a szempontokat a további fejezetekben is nagyon fontosnak tartottam, és igyekeztem legjobb tudásom szerint tárgyalni e kérdéseket minél több oldalról megközelítve. Így reményeim szerint a "mire jó a matematika" kérdésre is körvonalazódik egy szofisztikált kép a könyv egészéből.

A második fejezet a Térteremtés című előadásomat követve és kiegészítve vezet át a topológia világába, ahol persze elég hamar szükségünk lesz a többdimenziós terekben szerzett jártasságra. Majd a Monty Pythonból ismert "... and now something completely different" szerkesztési módot követve a Dobble nevű kártyajáték matematikai szerkezetével ismerkedünk meg, amelynek látszólag semmi köze az előző fejezetekhez. Aztán hamar kiderül, hogy a Dobble paklihoz használt projektív sík lényegében a következő alakzat a térteremtésben a tórusz és a Klein-kancsó után. És talán ez közülük a legizgalmasabb: az alakja éppen hogy nem elképzelhető, de több irányból megközelítve majdnem megérthető. Ez után a háromdimenziós gömbfelületre térünk vissza, arra, hogyan áll össze tökéletes ölelésben összetapadó tóruszokból. A lyukasság hétköznapi fogalmát jól megvizsgálva megismerkedünk a topológia válaszával, az ún. fundamentális csoporttal. Az a feladat, amelyben két szögre súlyt kell akasztani úgy, hogy az bármelyik szög kihúzásával leessen, szerintem az egyik legkifejezőbb példa az absztrakt algebra (és az algebrai topológia) működésére, és nagyon minimális apparátussal elmondható matematikai képzettséggel nem rendelkezőknek is.

Az utolsó előtti fejezet a háromdimenziós tér forgatásainak teréről szól (azaz az ún. SO(3) Lie-csoportról), ezt vizsgáljuk meg lyukasság szempontjából. Amellett, hogy SO(3) szerkezete a gyakorlatban is fontos, hiszen minden térbeli navigációs rendszer végső soron ezt használja, a projektív térhez, és így a háromdimenziós gömbfelülethez is szorosan kapcsolódik ez a téma. Ezek a kapcsolatok hozzák összefüggésbe az elemi részecskék spinjét a négydimenziós szabályos testekkel. A könyv végén visszatérünk a négydimenziós tér fizikai jelentéséhez, és a téridőt, a klasszikus mechanika és a speciális relativitáselmélet téridőmodelljeit vesszük szemügyre geometriai szempontból. Ez a fejezet logikailag Matolcsi Tamás: A téridő szerkezete című egyetemi előadását követi, annak kivonatolt változata. Éppen a matematikus megközelítés teszi lehetővé, hogy képletek nélkül, csupán a józan paraszti ész és a fantáziánk megfelelő kombinálására alapozva jutunk el a relativitáselmélet híres paradoxonjainak, az ikerparadoxonnak és a vonatos−alagutas paradoxonnak a megértéséig és feloldásáig.

A könyv végén feladatok lesznek, megoldásokkal ellátva. Így, bár laikus közönséget célzó ismeretterjesztő irodalomnak szánom, motiválni szeretném a könyvben szereplő témák beemelését is a középiskolai oktatásba. Egyébként Péter Rózsa: Játék a végtelennel című könyvét tartom példaképnek, annak geometriai kiegészítésének szánom ezt a könyvet. (És természetesen örülök, ha bármit is sikerül átmentenem a példakép-könyv szellemiségéből.)

Tánc és matematika

Dömötör Luca kortárs táncossal véletlenül ismerkedtem meg egy zebrán tavaly májusban. Az általa elindított Szabadmozgás Műhelynek hasonló a küldetése a táncban, mint a MateMorfózisnak a matematikában, röviden: mindkettő azt hirdeti, hogy a tánc illetve a matematika mindenkié. Látásból ismertük is egymást fesztiválokról, ahol mindketten programokat tartottunk. A zebránál öt perc beszélgetés alatt kiderült, hogy Lucát nagyon érdekli a tudományos minőségek megjelenítése és átérezhetővé tétele a mozgáson keresztül, és elhatároztuk, hogy beadjuk közösen a Műhely Alapítvány által kiírt Ismeretlen Kutatása pályázatot. Ez a pályázat táncosoknak szól, és más diszciplínák képviselőivel való együttműködésüket támogatja. Nem kötelező produkciót létrehozni, a kísérletezés, közös kutatás a cél. Nem mi voltunk az egyetlen tánc+reál párosítás a programban, Luca névrokonának és kolléganőjének, Dömötör Juditnak a társa Hajnal Márton fizikus és orvos volt.

A közös kutatásunk Lucával nagyon intenzíven indult, ami nem csoda, hiszen különböző területek nem szokványos összepárosításáról van szó. Azt sem tudtuk, merre induljunk el, miközben minden egyes mozdulatunk nagyon izgalmas iránynak tűnt. Mivel akkoriban kezdtem el írni a könyvet, amikor az Ismeretlen Kutatása kezdődött, akaratlanul is a könyvben szereplő témák felé irányult a figyelmünk. A sokféle ötletünkből végül csak néhány téma került elő a nyilvános megosztásokon, hiszen azokat ki is kellett valamennyire dolgozni. Négy ilyen megosztásra került sor, a Jurányiban, az Óbudai Egyetemen Kutatók éjszakáján, az Auróra nevű szórakozóhelyen és a Mu Színházban. Ezeken a műhelyeinket próbálhatták ki a résztvevők. A topológiában központi szerepet játszó csomókkal foglalkoztunk, a kibogozódós gyerekjátékot tovább gondolva egyszerű csomókat formáltunk meg 2-3 fős csoportokban, és eljátszadoztunk ezek mozgási lehetőségeivel.

A másik többször kipróbált feladatunk a „Dimenzióugrási technikák földlakóknak”. Ez a játék − de az egész közös munka is − régi álmom megvalósulása, legalábbis fontos lépés e felé. A többdimenziós terekről szóló előadásaimban mindig próbáltam hangsúlyozni, hogy a valóság jóval több a fizikai térnél, „belső" világunk, gondolataink, lehetőségeink is a valóságunkhoz tartoznak, és ezek is valamiféle teret alkotnak, amit tudunk érzékelni. Sokáig nem tudtam erre meggyőző példákat mondani, csak homályos érzetként élt bennem ez a téma. Manapság a problémáink megoldására javasolt, szólásokká vált tanácsokat idézem: „Lépj ki megszokott gondolati köreidből”, „Emelkedj felül a problémán”, „Vizsgáld meg más nézőpontból” - ezek a mondások arra utalnak, hogy a gondolataink, lehetőségeink valamiféle teret alkotnak, körülöttünk helyezkednek el, és egyúttal bennünk. Ezekben a terekben nincs megállás a három dimenziónál, ahogyan a matematikában sem! Lucát mindennek az emberi oldala érdekelte, az átérezhetőség, táncosként ezzel tudott valamit kezdeni, így a dimenziók lehetőségként való értelmezése nagyon inspirálta őt, és sokat foglalkoztunk ezzel a témával.

Szerencsére folytatódik az együttműködésünk, csak még mindig jóval több irányvonal körvonalazódik, mint amit a kapacitásunk enged. Nekem egy régebbi álmom a speciális relativitáselmélet színházi megjelenítése, a Trip Hajóval már 2017 őszén ötleteltünk egy ilyen előadás létrehozásán, de ez akkor nem valósult meg. Lucával a közös munka során újra előkerült ez az elképzelés, hiszen mi más lehetne alkalmasabb a tér, idő és mozgás, egyidejűség megjelenítésére, mint a tánc? Ez alapján most már elég konkrét terveink vannak az előadás elkészítéséhez, de jóra összerakni és összepróbálni nagyobb lélegzetvételű munka lesz, és a jelenleg rendelkezésre állónál több pénzre is lesz hozzá szükségünk. Ezt a tervet tehát még dédelgetjünk, próbálunk apró lépésekben haladni felé. Egy videó elkészítése is tervben van ehhez a témához mintegy előzetes tanulmánynak. Mindeközben a műhelyeinket is fejlesztjük, fesztiválokra és gyerekcsoportokhoz is megyünk mostanában foglalkozásokat tartani. Bár az őszi munkánkhoz a matematikának nagyon elvont területeit választottuk, most próbáljuk átfésülni a kézzelfoghatóbb részeket olyan szempontból, hogy mit lehet jól megjeleníteni mozgás segítségével. Az oszthatóság, a prímszita, a nevezetes vonalak, szerkesztések mind izgalmas gyakorlatokhoz vezetnek. De ha belelendül az ember, szinte mindent el lehet táncolni − parafrázisaképpen a matematika univerzalitásáról gyakran elhangzó mondásoknak.

A játék

Amit pedig mégsem táncoltunk el, annak is lett helye az Óbudai Egyetem egyik STEM projektjéhez készített számítógépes játékban. Bár ez nem éppen az én műfajom, a húgommal, Stipkovitsné Pintér Zsuzsannával közösen összeraktuk a forgatókönyvét az iDea nevű játéknak.  A helyszínül szolgáló platoni barlanghasonlatban bolyongva ismerkedhetnek meg a gyerekek többek között a vetületekkel, szabályos testekkel és hálóikkal. Jelenleg a programozó-grafikus kolléga dolgozik a megvalósításon, nagyon várjuk a végeredményt. 

A kiállítások

E félévben több képzőművészeti kiállítással kapcsolatos meghívásom is volt. Önmagában is nagyon örülök neki, hogy a művészeti események szervezői ilyen nyitottan gondolkoznak, és adott esetben matematikust hívnak meg beszélgetni a kiállításról. Amikor ilyen felkéréseket kapok, igyekszem az inkompetenciámat félretéve nem azon aggódni, hogy mit várhatnak tőlem, miközben esetleg egyáltalán nem is hallottam még az adott művészről, stílusról, műfajról. Hiszen valószínűleg olyan céllal hívtak meg, amit az interneten fellelhető anyagok alapján várnak tőlem. Ezért minimálisan készülök előre. Elolvasom, amit küldenek, meghallgatom, miért hívtak engem, megnézem a kiállítást, és a benyomásaim alapján beszélek arról, ami eszembe jut.

A Prímek primisszima vándorkiállítás tavalyi záró eseménye Szentendrén volt a Vajda Lajos Stúdióban, ennek megnyitójára érthető okokból hívtak matematikust. Semmiféle meglepetést nem okozva a prímszámokról beszéltem, majd egy fél-playback zenei műsort is celebráltunk.

Idén januárban Melkovics Tamás szobrász Morfologika című kiállítását nyitottam meg a Várfok Galériában. Ebből csak arra emlékszem, hogy a természetes számok Neumann-féle modelljét sikerült elég stand up comedybe illő módon elmondanom, a Tamás szobraival kapcsolatban gyakran említett teremtési folyamat illusztrálására. „Semmi" − de azzal, hogy ezt mondtam, semmi, máris lett valami...

Fusz Mátyás látótér-lenyomatokat készített, ezekből állított össze egy kiállítást a Liget Galériában. A kiállítással kapcsolatban beszélgetés volt meghirdetve, de ő csak egyet kérdezett tőlem: mondjam el a relativitáselméletet. Így körülbelül ez történt. Emellett Mátyás (és barátainak) művei − vagy inkább művészeti kutatásaik − nagyon sok más matematikai kapcsolódást és érdekességet hordoznak. Vizsgálnak alternatív perspektívákat például. A computational geometry nevű tudományágat ekkor (februárban) én nem is ismertem, csak áprilisban hallottam egy előadást a teremőr-problémáról, ami elég jól rímel Mátyás látómezőire.

Az Iparművészeti Múzeum főépülete jelenleg felújítás alatt áll, így a múzeum első igazgatója, Ráth György egykori villájában rendeznek kiállításokat. A Körforgásban című kiállítás-sorozat segítségével tartják mozgásban a múzeum egyébként nemzetközi szinten is kiemelkedő gyűjteményét. E program koncepciója szerint hazai és Kelet-Európa más országaiból érkező kortárs dizájnerek választanak egy-egy műtárgyat a múzeum gyűjteményéből, és arra reflektálva készítenek kortárs dizájn alkotásokat. Az eredeti tárgy és az új alkotások aztán együtt kerülnek kiállításra, sorsuk örökre összekapcsolódik: az új nem jött volna létre a régi nélkül.

Amikor a Körforgásban sorozat ötletgazdája és kurátora, Horváth Judit először megkeresett, annyit fogtam fel, hogy valami régi karosszéket mai nyelven újraértelmezett egy lengyel dizájner, akinek a munkásságára jellemző a tér különféle dimenziók szerinti értelmezése, és a költészet napján szeretnének meghívni egy beszélgetésre a dizájnban és a matematikában rejlő költészet boncolgatására. Judit tárlatvezetésével kiegészítve állt össze a kép. Maria Jeglinska lengyel kortárs dizájner a 60-as, 70-es években működő Te+Én nevű budai presszó berendezését képező fotelt választotta ki inspirációs tárgynak. A választáson mindenki meglepődött, hiszen a gyűjtemény gazdagságát figyelembe véve a Mikó Sándor által tervezett karosszék nem tűnt kiemelkedően különlegesnek − egészen addig, amíg nem került ennek a kiállításnak a homlokterébe. A karosszék, a hatvanas évek végén a Te+Én presszó berendezési tárgyaként, alkalmas volt arra, hogy nyugati kávézók hangulatát idézze, de közelről megnézve nálam szakértőbb szemek észreveszik az összeállítás esetlegességét, barkács jellegét. Maria Jeglinska a fotelre reflektálva adaptálható bútorokat, tologatható válaszfalakat tervezett.

 

 

Az első látogatáskor csak arra lettem figyelmes, hogy az egész történet tele van falakkal, ugyanakkor e falak megkerülésével. A kelet-nyugat szétválasztása a Franciaországban született lengyel származású Maria Jeglinska számára is meghatározó élmény. A Te+Én presszó térelválasztói állítólag kiválóan alkalmasak voltak a lehallgatásra, megfigyelésekre. A Maria Jeglinska által tervezett mozgatható falak értelmezhetők a „fal”, vagy akár a vasfüggöny karikatúrájaként is. Hiszen tele vannak lyukakkal, negatív formákkal, kerekeken oda guríthatjuk őket, ahová szeretnénk, és nem utolsó sorban vidám színeikkel barátságos hangulatot árasztanak.

De a múzeum jelenlegi helyzete is egy reménytelennek tűnő helyzetből való kitörésként értelmezhető az új irányok megteremtésével. A főépület még évekig nem áll rendelkezésre, de éppen ettől válik könnyebben tervezhetővé a jövő, hiszen a nyitásra nem csak a múzeum épületének, de a tartalomnak is meg kell újulnia. Az Iparművészeti Múzeum valaha világszínvonalú kortárs gyűjtési kultúrája csaknem száz éve nem tud lépést tartani a nemzetközi mezőnnyel.

Az alig négy éve működő kortárs dizájn osztály a felújítás ideje alatt a Körforgásban kiállítás-sorozat keretében évi két kiállítást szervez a Ráth-villában, melynek eredményeként a főépület nyitására a sorozat egyes kiállításainak hozadéka, a múzeum inspirációjára megszületett dizájn tárgyak, és a filmek, mely az ezekhez vezető dizájn folyamatot mutatják be, egy nagy kiállítássá állnak össze. A sorozatnak köszönhetően a nemzetközi gyűjteménygyarapítás feltámad, mégpedig elsősorban a keleti blokk országainak dizájnereire koncentrálva.

A beszélgetésen az euklideszi világ és az új geometriák kapcsolatáról volt szó. Mikó Sándor négy fakockán álló, eleve kockaszerűen megformált bútordarabja egy posztamensen volt kiállítva, szépen megvilágítva, mint a kiállítás egyik hangsúlyos szereplője. A kiállítás katalógusa ilyesmiket emleget a karosszékkel kapcsolatban: konkrét hely és funkció; egyszerű, szögletes, stabil lábakon álló, valóság, világkép. Mi ez, ha nem az euklideszi geometria? Ami valaha mindennapos használatra szolgált és egyedüli ülőalkalmatosság volt, ma a trónusán tekintélyesen álló, használaton kívüli avítt bútordarab. Az új formák kiindulási alapja és inspirálója, történetileg fontos elődje. Maria Jeglinska alkotásait nézve egyből felmerül a kérdés, hogy mik ezek egyáltalán, mire szolgálnak? Ezek a tárgyak elsőre mesterkéltnek tűnnek. Az értetlenségre a válasz nem egyértelmű, tőlünk függ, hogyan értelmezzük. Ahány igény és ötlet, annyi módon válnak a tárgyak felhasználhatóvá. Jellemzőjük a dimenziók szabad értelmezése, függetlenítés a tértől és funkciótól. A beszélgetés előtt a villában töltöttem néhány órát, hogy inspirálódjak, és azzal szórakoztattam magam, hogy a Maria Jeglinskaval készült interjúban kicseréltem a „tárgyak" szót „geometriákra" − és működött! Jeglinska alkotásai az újkori geometriáknak felelnek meg. Adaptálható tárgyak − adaptálható geometriák. A mozgás része a formának, írja a katalógus. A modern matematikában a mozgás is formát alkot, gondoljunk például a vektorterek lineáris leképezéseire vagy a háromdimenziós tér forgatásainak terére!

A MateMorfózis fő irányvonala jelenleg az alternatív oktatási formákkal való kísérletezés, és más diszciplínákkal, művészeti ágakkal való kapcsolatok feltárása és alkalmazása. A falak megkerülése. Szerintem ez különösen fontos ma, amikor az oktatás és a tudomány hagyományos formáit és intézményeit oly sok irányból érik támadások, és nehéz kihívások előtt állnak. És ugyan ez a cikk a saját próbálkozásaimról szól, a célom az, hogy másokat is biztassak ilyen kísérletezésekre. Halványan, de úgy érzem, körvonalazódik egy mozgalom, amelyben az általam ismert szereplők mind máshogyan, egyéni módon közelítik meg az ismeretterjesztést.

Pintér Gergő

Matemorfozis.hu

Facebook.com/matemorfozis

Ez az ímélcím a spamrobotok elleni védelem alatt áll. Megtekintéséhez engedélyeznie kell a JavaScript használatát.