Douglas faktorizációs lemmája

2018. február 27-én 80 éves korában elhunyt Ronald G. Douglas, az operátorelmélet egyik meghatározó alakja, számtalan nagy hatású könyv és cikk szerzője. Banach Algebra Techniques in Operator Theory [5] című munkája a téma klasszikusának számít.

Douglas legtöbbet idézett eredménye az általában csak Douglas faktorizációs lemmája néven emlegetett 1966-os tétele [4], mely a Google Scholar adatbázisa szerint 930 hivatkozással rendelkezik. Rövid írásunk célja, hogy e méltán híres eredményt körüljárjuk, és annak szépségét és hatékonyságát vázlatosan bemutassuk.

A lemmának magyar vonatkozása is van. Nevezetesen, Douglas a cikkében megemlíti, hogy a bizonyítás egyik nemtriviális gondolata Halmos Páltól számazik.

Halmos Pál 

1966-ban, amikor a faktorizíciós lemma született, mindketten a michigani egyetemen dolgoztak. Sőt, az alábbi képet maga Halmos készítette ugyanebben az évben.

Halmos Pál fotója Ronald G. Douglasről 

Mielőtt a tétel tárgyalását megkezdjük, vázlatosan összefoglaljuk a legalapvetőbb tudnivalókat.

A valós vagy komplex vektorteret euklideszi térnek nevezzük, ha a szokásos összeadás és számmal való szorzás műveletek mellett el van látva egy speciális kétváltozós

függvénnyel is, amit skalárszorzatnak hívunk. A skalárszorzat létének nagy előnye, hogy segítségével lehet hosszt, távolságot és szöget definiálni:

, , .

Példaként gondolhatunk itt az vektortérre a szokásos skalárszorzattal

Az ebből a skalárszorzatból nyert hossz-, távolság- és szögfogalom megegyezik a középiskolában tanultakkal. Az vektor hossza épp , két vektor „távolsága” épp a különbségvektor hossza, a szögre vonatkozó állítás pedig nem más, mint a koszinusz tétel egy átfogalmazása.

A hossz (és távolság) segítségével értelmezhetjük sorozatok konvergenciáját is, nevezetesen , ha . Egy euklideszi teret Hilbert-térnek nevezünk, ha minden benne haladó Cauchy-sorozat konvergens. Más szóval, ha egy sorozatra az teljesül, hogy ( ), akkor van olyan , amelyre . Megjegyezzük, hogy ez utóbbi úgynevezett teljességi feltevésnek köszönhető, hogy a Hilbert-terek geometriájának elmélete sokkal gazdagabb mint az euklideszi tereké.

A Hilbert-terek szerkezetének egyik legfontosabb (euklideszi terekre általában nem jellemző) tulajdonságára Riesz Frigyes híres eredménye világít rá: bármely lineáris altér   lezártja és merőleges kiegészítője,

direkt összegként feszíti ki a teret. Más szóval, minden -beli elem egyféleképp írható fel egy -beli és egy -beli elem összegeként.

Riesz Frigyes 

Megszokhattuk, hogy lineáris leképezések (vagy más szóval: lineáris operátorok) esetében bizonyos fogalmak leegyszerűsödnek, vagy éppen újabb tulajdonságokkal ruházódnak fel, így például egy lineáris leképezés nullhelyeinek halmaza (magtere) és értékkészlete (képtere)

a -nak egy-egy lineáris altere. Emlékeztetünk arra is, hogy a leképezés korlátossága egyenértékű a folytonosságával, amit viszont elég egyetlen pontban leellenőrizni.

Így tehát egy lineáris leképezés folytonos, ha van olyan konstans, amellyel minden -ra fennáll az alábbi egyenlőtlenség

A legkisebb ilyen számot az leképezés operátornormájának nevezzük, és -pal jelöljük. Vegyük észre, hogy teljesül minden folytonos lineáris operátorra és elemre.

Riesz Frigyes egy másik alapvető fontosságú eredményének, az úgynevezett Riesz-féle reprezentációs tételnek egy elemi következménye, hogy minden folytonos lineáris leképezéshez természetes módon kapcsolódik egy úgynevezett adjungált operátor. Az folytonos lineáris leképezést  adjungáltjának nevezzük, ha teljesül minden vektorra. Az adjungálás defibíciójából az is látszik, hogy .

Megemlítjük még a zártgráf tételt, mint a Hilbert-terek operátorainak folytonosságára vonatkozó egyik alaptételt. A zártgráf tétel azt mondja ki, hogy egy lineáris leképezés pontosan akkor folytonos, ha a

halmaz zárt (a szorzattopológia szerint). Ez utóbbi pedig könnyedén ellenőrizhető sorozatok segítségével: Legyen egy olyan sorozat, amelyre és . Ekkor azt kell igazolnunk, hogy . Megjegyezzük, hogy a zártgráf tétel a Hilbert-tereknél általánosabb ún. Banach-terek körében is igaz, sőt a matematika számos egyéb területén is előfordul a zártgráf tétellel analóg állítás. (Ezzel kapcsolatban az olvasó figyelmébe ajánljuk Terence Tao idevágó [10,11] bejegyzéseit.)

Douglas faktorizációs tétele. Legyen  valós vagy komplex Hilbert-tér, legyen továbbá folytonos lineáris operátor. Ekkor a következő kijelentések egyenértékűek:

(i) létezik olyan folytonos lineáris operátor, hogy ,

(ii) létezik olyan konstans, hogy

(iii) és képtereire fennáll a tartalmazás.

Bizonyítás. Az könnyen adódik, hogy az (i) állítás maga után vonja (ii)-t és (iii)-at. Valóban, a választással azt látjuk, hogy

Hasonlóan egyszerűen, a képtér definíciójába behelyettesítve azt kapjuk, hogy

Belátjuk most az eredetileg Halmostól származó (ii) (i) implikációt. Tekintsük a altéren a 

hozzárendeléssel értelmezett leképezést. A (ii) feltétel szerint jóldefinált folytonos lineáris operátor, éspedig , továbbá egyértelműen kiterjed ki a altérre a linearitás valamint a norma megtartása mellett. Terjesszük tovább az így kapott operátort a Hilbert-tér egészére úgy, hogy a altéren 0-ként definiáljuk. Jelöljük -vel az így nyert operátort, és vegyük észre, hogy lineáris. Emellett bármely vektor előáll alakban, ahol , , így a

becslésből látható, hogy folytonos és . Végezetül a konstrukció alapján következik, hogy , így választással .

Most belátjuk a (iii) (i) implikációt. Legyen  tetszőleges rögzített vektor, akkor figyelembevételével létezik egyetlen , hogy

(1)

Elsőként igazoljuk, hogy az így definiált függvény lineáris: legyen ui. tetszőleges, akkor olyan vektorok, hogy

következésképp . Hasonlóképp igazolható homogenitása. Mivel (1) szerint , azért a tétel igazolva lesz, ha megmutatjuk, hogy folytonos. A Banach-féle zártgráf tétel értelmében elegendő azt megmutatni, hogy gráfja zárt. Legyen olyan sorozat, hogy és . Azt kell igazolnunk, hogy . Az és operátorok folytonossága miatt , illetve , vagyis . Ugyanakkor miatt , így miatt . Ezzel megmutattuk, hogy folytonos, és hogy . 

Megjegyzés: A bizonyításból látható, hogy a tétel feltételei mellett az operátoregyenletnek eleget tevő megoldás megválasztható úgy is, hogy teljesüljön. E további feltétel mellett egyértelmű is, és a normája egyenlő azzal a legkisebb számmal, amely mellett (ii) fennáll. Ezt a operátort szokás az egyenlet Douglas-megoldásának is nevezni.

A faktorizációs lemma egyik szépsége annak egyszerűségében rejlik. Megértéséhez, illetve bizonyításához elegendő a tudományterület (azaz a funkcionálanalízis) legalapvetőbb fogalmait ismerni. Hogy mitől annyira hatékony maga a lemma, az talán azzal magyarázható, hogy három nagyon különbözöző feltételt kapcsol össze: az (i) tulajdonság tisztán algebrai jellegű, a (ii) egy metrikus egyenlőtlenség, míg (iii) egy egyszerű halmazelméleti tartalmazás. Megjegyezzük, hogy a (ii) feltételben lévő egyenlőtlenséget írhattuk volna úgy is, hogy

azaz a faktorizálhatóság még a pozitív operátorok rendezésével is kapcsolatba hozható.

A cikk lezárásaként az alábbiakban bemutatjuk Douglas eredményének egy érdekes és hasznos elméleti következményét, a Moore–Penrose-féle pszeudoinverz létezését. Az általánosított inverz ilyen fogalma komoly szerepet játszik többek között a biológiai alkalmazásokban és a mérnöki tudományokban. Az alkalmazások teljes spektrumát itt meg sem próbáljuk bemutatni, de az érdekesség kedvéért megemlítjük a digitális képhelyreállítási algoritmusokat, vagy éppen biochipek hiányzó vagy sérült adatainak becslését.

A Moore–Penrose-féle pszeudoinverz. Adott korlátos operátor és vektor mellett tekintsük a

(2)

lineáris egyenletet. Ez pontosan akkor oldható meg minden jobb oldal mellett, ha szürjektív, a megoldás egyértelműsége pedig ekvivalens injektivitásával, vagyis a feltétellel. (Véges dimenziós esetén az injektivitás és szürjektivitás egymással egyenértékű tulajdonságok, végtelen dimenzióban viszont ezek egymásától függetlenek.) Ilyenkor az egyértelmű megoldást az vektor adja, ahol szintén korlátos operátor.

Az általános esetben azonban sem nem szürjektív, sem nem injektív. Ilyenkor a (2) egyenlet megoldhatósága ekvivalens azzal, hogy . A megoldás viszont csak a további  feltétel mellett lesz egyértelmű. Kérdés, hogy ha nincs inverz, akkor hogyan kaphatjuk meg a megoldó operátort? A Douglas-lemma alkalmazásaként az alábbiakban erre adunk választ.

Tekintsük ugyanis a lineáris alteret. Ha ez zárt, akkor vehetjük az erre vett ortogonális projekciót, azaz azt az egyetlen operátort, amelyre és egyaránt teljesül. Ekkor Douglas fenti faktorizációs lemmája és az azt követő megjegyzés értelmében létezik egyetlen szimbólummal jelölt korlátos operátor -n, hogy

   és

Jelölje a -re vett ortogonális projekciót. Könnyű bebizonyítani, hogy a operátor rendelkezik az alábbi tulajdonságokkal:

A operátort a Moore-Penrose-féle pszeudoinverzének nevezzük.

Vegyük észre, hogy értelmezésénél lényeges volt, hogy képtere zárt, ugyanis merőleges vetítés csak zárt altérre vehető. Természetesen véges dimenziós terekben (Moore [7] és Penrose [8] ilyeneket vizsgáltak) ez a feltétel automatikusan teljesül.

Halmos Pál fényképe Roger Penrose-ról 

Végezetül térjünk vissza a (2) egyenlethez. Tegyük fel, hogy képtere zárt. Ha , akkor a Moore–Penrose-inverz tulajdonságai alapján választással

teljesül, vagyis megoldása a (2) egyenletnek.

Zárásként megemlítjük, hogy a Douglas-lemma egy változata érvényben marad a Hilbert-tereknél általánosabb struktúrákban is, nevezetesen Banach-terekben [1,6], ahol a vektorok hosszát nem skaláris szorzattal, hanem egy ún. normafüggvénnyel definiáljuk. Ennek az általánosításnak azonban ára van: skaláris szorzat híján a merőleges fogalmát sem tudjuk értelmezni, emiatt a Banach-terek geometriája jóval bonyolultabb. A Douglas-lemma is csak gyengébb formában marad érvényes [3], így annak alkalmazásai sem annyira széleskörűek.

A cikk az Emberi Erőforrások Minisztériumának ÚNKP-18-4-BGE-3 kódszámú „Új Nemzeti Kiválóság Program”, és a Nemzeti Fejlesztési, Kutatási és Innovációs Hivatal (NKFIH PD128374 és K115383) támogatásával készült.

Irodalomjegyzék

[1] B. A. Barnes, Majorization, range inclusion, and factorization for bounded linear operators, Proc. Amer. Math. Soc., 133 (2005), 155–162.

 

[2] J. Beery and C. Mead, Who's That Mathematician? – Paul R. Halmos Collection, Convergence, (January 2012), https://www.maa.org/book/export/html/117776, DOI:10.4169/loci003801.

 

[3] R. Bouldin, A counterexample in the factorization of Banach space operators, Proc. Amer. Math. Soc., 68 (1978), 327.

 

[4] R. G. Douglas, On majorization, factorization, and range inclusion of operators on Hilbert space, Proc. Amer. Math. Soc., 17 (1966), 413–415.

 

[5] R. G. Douglas, Banach algebra techniques in operator theory. Pure and Applied Mathematics, Vol. 49. Academic Press, New York-London, 1972.

 

[6] M. R. Embry, Factorization of operators on Banach space, Proc. Amer. Math. Soc., 38 (1973), 587–590.

 

[7] E. H. Moore, On the reciprocal of the general algebraic matrix, Bull. Amer. Math. Soc., 26:394–395, 1920.

 

[8] R. Penrose, A generalized inverse for matrices, Proc. Cambridge Philos. Soc., 51, (1955). 406–413.

 

[9] F. Riesz, http://www.bibl.u-szeged.hu/exhib/evfordulo/riesz/riesz.htm

 

[10] T. Tao, The closed graph theorem in various categories, https://terrytao.wordpress.com/2012/11/20/the-closed-graph-theorem-in-various-categories/

 

[11] T. Tao, The Baire category theorem and its Banach space consequences https://terrytao.wordpress.com/2009/02/01/245b-notes-9-the-baire-category-theorem-and-its-banach-space-consequences/