Matematika a fizikaórán

Matematika a fizikaórán

A matematika és fizika tudománya évszázadok óta kart karba öltve fejlődik. A fizika a matematika nyelvén fogalmazza meg törvényeit, igényei pedig hatással vannak a matematika fejlődésére. Hogyan jelenik meg ez a szoros kapcsolat az oktatásban? Támaszkodik-e a két tantárgy a másikban született „eredményekre”? Hogyan, mely területeken kapcsolódik, kapcsolható össze a két tárgy oktatása? A kapcsolódási lehetőségek ismerete segíthet-e a hatékonyabb tanításban? Ezekre a kérdésekre keresem a választ ebben a cikkben.

A matematikaórákon tanult ismeretek alkalmazására leginkább a fizikaórákon nyílik lehetőség a középiskolában. A matematika szinte minden területéről előkerülnek az ismeretek. A fizika támaszkodik ezekre, egyben segíti is a matematikaoktatást, gyakoroltatja a tanultakat. Eközben megtanít a különböző tananyagrészekben elsajátítottak összekapcsolására.

Ideális esetben a két tantárgy oktatása szinkronizálható abban a tekintetben, hogy fizikából csak a tanult matematikai ismeretekre alapozzunk. A gyakorlatban ez nem mindig működik így. Több területen találkozunk azzal a problémával, hogy fizikaórán már alkalmazás szinten kellene használni a tanulónak olyan matematikai összefüggéseket, amelyekkel a matematikaórán még alig, vagy egyáltalán nem találkozott. Mivel a fizika sok esetben „megelőzi” a matematikát, a fizikatanár rákényszerül arra, hogy bevezesse a hiányzó matematikai ismereteket, még ha kicsit nagyvonalúbban, kevésbé pontosan teszi is meg. A matematikatanítás szempontjából ez előnyös is lehet, időt nyerhetünk az alapozásnál, ha tudjuk, hogy fizikából milyen előismeretekkel rendelkeznek diákjaink. Melyek tehát ezek az ismeretek, amelyek alapozásában építhetünk a fizikaórán tanult előismeretekre? A teljesség igénye nélkül néhány terület:

Hetedik osztály elején a sebesség fogalmához kapcsolódóan találkozunk az első problémával. Matematikából hatodik osztály végén még csak ismerkedünk a mérlegelvvel, mindkét oldal azonos mennyiséggel történő növelését és csökkentését gyakorolva. A szorzás és osztás műveletekre még nem fektetünk hangsúlyt. Fizikaórán viszont a $ v=\frac{s}{t}$ képlet alkalmazása során meg kell tanítanunk a diákot a képlet átrendezésére, hogy az $ s$ és $ t$ értékeket ki tudjuk számítani. A tanévben több ehhez hasonló szerkezetű képlettel ismerkednek meg a tanulók, így a kapcsolódó feladatokban a tanult egyenletrendezési ismeretek elmélyülhetnek.

Ugyancsak hetedik osztály elején a mozgások vizsgálata során grafikont készítünk, konstans és lineáris függvény grafikonját elemezzük, sőt a változó mozgásokra térve a négyzetes úttörvény szemléltetésére a parabola grafikonját is felrajzoljuk.

A fordított arányosság a sebesség mértékegységeinek átváltása során már előkerül, de legkésőbb félévkor a forgatónyomaték fogalmát bevezetve foglalkozunk vele.

Ugyancsak kezdetektől foglalkozunk az átlag fogalmával, sőt a súlyozott átlaghoz és a harmonikus középhez vezető feladatokkal is találkoznak a tanulók.

Kilencedik osztályban a gyorsuló mozgás kapcsán a gyökvonással megoldható egyenletekkel ismerkedünk.

A vektor fogalma hetedik osztálytól nagyon fontos a fizika számára, és tizedik osztály végéig a fizika igényei megelőzik ebben a témában a matematikaórán tanultakat. Ezt a későbbiekben részletezni fogom.

Ugyancsak kilencedik osztályban év elejétől szükség van a negatív kitevőjű hatvány ismeretére.

Milyen matematikai fogalmakat, módszereket használunk tehát a fizika tanítása során? Szinte minden matematikaórán tanult ismeretet. Íme néhány főbb témakör, ami rendszeresen megjelenik a fizikaórákon:

 – Középértékek, statisztikai fogalmak
 – Műveletek törtekkel, reciprok fogalma
 – Hatványok, normál alak, hatványozás azonosságai, exponenciális kifejezések
 – Arányosságok
 – Algebrai összefüggések: nevezetes szorzatok, zárójelfelbontás
 – Lineáris, másodfokú, négyzetgyök, exponenciális, logaritmus, trigonometrikus függvények
 – Első-, másodfokú, négyzetgyökös, exponenciális, egyszerű trigonometrikus egyenletek, elsőfokú egyenletrendszerek
 – Geometriai ismeretek: terület-, térfogatszámítás, Pitagorasz-tétel, hasonlóság, egyenlő nagyságú szögek speciális helyzetei, hegyesszögek szögfüggvényei
– Vektorok

 

A fentieket a középszintű fizika tananyag elsajátításához szükséges ismeretekből válogattam, de minél magasabb szinten tanuljuk a fizikát, annál komolyabb matematikai ismeretekre lesz szükségünk (differenciál- és integrálszámítás, valószínűségszámítás, statisztika, stb.)

A továbbiakban konkrét példákon keresztül mutatom be, hogy milyen lehetőségeket ad hozzá a matematika tanításához a fizika.

Fogalmak alapozása, előkészítése

Több területet is említettem, ahol a fizika olyan matematikai fogalmakat használ, amelyeket a matematikaoktatás még nem alapozott meg kellőképpen. Mivel ilyenkor a fizikatanár rákényszerül ezek valamilyen szintű bevezetésére, ezekre az előismeretekre a matematikaórán már építhetünk. Ebből a szempontból külön figyelmet érdemes fordítani a vektorok témakörre. Szinte minden alapfogalma, művelete, minden ide kapcsolódó módszere előbb jelenik meg a fizikaoktatásban, mint matematikaórákon. Ha megismerjük, hogy a fizika az ide tartozó fogalmakat, szabályokat milyen folyamatokon keresztül vezeti be, akkor a matematikaórákon ennek már csak a pontosítása a feladatunk. Tapasztalatból mondhatom, hogy ezzel rengeteg időt tudunk megspórolni. Nézzük ezért lépésről lépésre, hogy fizikaórán milyen mélységig foglalkoznak a tanulók a vektorokhoz kapcsolódó ismeretekkel!

A sebesség és az erő fogalmainak ismertetésekor a diákok már hetedik osztályban találkoznak a vektor fogalmával. A vektor nekik ekkor egy olyan fizikai mennyiséget jelent, aminek nem csak nagysága, hanem iránya is van. Ezeket a mennyiségeket az ábrákon nyíllal jelöljük. Az erőfogalom megismerésekor bevezetjük az erő hatásvonala (az erővektorra illeszkedő egyenes) és támadáspontja fogalmakat. Később ebből matematikaórákon származhat bonyodalom. A vektoroknak ugyanis kezdő- és végpontjuk nincsen, ebből adódóan a párhuzamos, egyenlő hosszúságú, megegyező irányú vektorok hatása matematikában ugyanaz. Fizikában viszont nagy hangsúlyt kell fektetnünk arra, hogy az erővektornak hol van a támadáspontja, hiszen ettől függően más hatást eredményezhet.

Fa      Fb 

Az ábra két egyenlő erővektor (Fa, ill. Fb) hatását mutatja ugyanazon a testen, ha a támadáspontjuk (Ta, ill. Tb) különböző. Az a) esetben az erő csak gyorsítja a testet, míg a b) esetben az erőnek forgató hatása is van. (TKP jelöli a tömegközéppontot.)

Amíg fizikaórán azt tanítjuk, hogy az erővektor hatásvonala mentén eltolható, mert ugyanazt a hatást eredményezi, addig matematikaórán a tetszőleges eltolással egymásba mozgatható vektorokat tekintjük egyenlőnek. Amikor a középiskolai oktatásban a vektorok témához érkezünk, tudnunk kell, hogy a vektorfogalom általánosítását megnehezíthetik ezek az eltérések. Fontos tehát, hogy ismerjük és tisztázzuk ezeket a különbségeket.

Ahogy a sebesség- és erővektorokkal megismerkednek a diákok, szinte azonnal szembetalálkoznak a vektorok összeadásának szabályával is. Kezdetben a párhuzamos vektorok összeadását ismerik meg, de hamarosan érzékeltetjük a (jellemzően a merőleges) szöget bezáró vektorok összeadására vonatkozó szabályt. Tipikus feladat erre a következő:

Egy folyó sebessége teljes szélességében $ 2~$m$ /$s nagyságúnak tekinthető. Egy úszó a partra merőleges irányban $ 3~$m$ /$s-os sebességgel úszik át rajta.

a) Hol fog a túloldalon partot érni, ha a folyó 60 m széles? 
b) Szerkesszük meg milyen irányban kell az úszónak úsznia, hogy a legrövidebb úton átjusson a túlsó partra?

 

A megoldást az alábbi ábra szemlélteti.

Kp1

Ebben a feladatban a diákok alkalmazzák a vektorok összeadásának szabályát (olykor már általános iskolában is). Középiskolában viszont kilencedik osztály őszén meg is fogalmazzuk a paralelogramma-szabályt.

Kp2Tanév elején a vonatkoztatási rendszerekben a mozgások leírása a vonatkoztatási pontból kiinduló vektorokkal történik. Ekkor találkozik a diák először a helyvektor fogalmával. Az elmozdulásvektort a mozgás kezdő és végpontjába mutató helyvektorok különbségeként határozzuk meg, így a vektorok különbségének definiálása legkésőbb kilencedik osztály elején megtörténik.

       

Az összetett mozgások vizsgálata során a vektorokat egymásra merőleges komponensekre bontjuk. Ezt gyakorolják a tanulók a hajítások esetén, amikor a sebességvektort vízszintes és függőleges komponensekre kell bontaniuk. A lejtőn lecsúszó test mozgását vizsgálva viszont lejtővel párhuzamos és lejtőre merőleges komponensekre bontjuk az erővektort.

Kp3         Kp4

A munkát az erő- és elmozdulásvektor skaláris szorzataként határozzuk meg, amit a tanulók tizenegyedik osztályban tanulnak matematikából. Fizikából a fogalmat 7. osztályban kezdjük el kialakítani, majd kilencedik osztályban pontosítjuk, végül tizenegyedik osztályban fakultáción mondjuk ki a fenti formában. A következő feladat azt mutatja be, hogy milyen lépéseken keresztül zajlik ez a folyamat.

Mekkora munkát végez a 80 N nagyságú erő a testen, ha a munkavégzés során az elmozdulás 300 m és az elmozdulás

a) az erővel megegyező irányú, 
b) merőleges az erőre,
c) 60 fokos szöget zár be az erővel? 

 

Megoldás:

a) Hetedik osztályban még csak abban az esetben számolunk munkát, amikor az erőhatás irányában történik az elmozdulás. Ilyenkor egyszerűen az erő és elmozdulás nagyságának szorzatával számolhatunk:

$\displaystyle W=F\cdot s=80~$N$\displaystyle \cdot 300~$m$\displaystyle =24\,000~$J$\displaystyle .
$

 b) Kilencedik osztályban már komolyabban foglalkozunk az erő merőleges összetevőkre bontásával. A munka definícióját ekkor úgy pontosítjuk, hogy az erő és az erő irányú elmozdulás szorzataként számolható ki. Az elmozdulást felbontjuk erőirányú és arra merőleges összetevőkre. Ebben a feladatban az erő irányában nem történik elmozdulás, csak arra merőlegesen, így munkavégzés nem történik. A munkáról alkotott kép tehát kiegészül azzal, hogy az elmozdulásra merőleges erő nem végez munkát a testen.

c) Tizenegyedik osztályban fakultáción a szögfüggvények ismeretében ki tudjuk számolni az elmozdulásvektor erő irányú összetevőjének hosszát az $ s\cdot \cos\gamma$ képlettel, ha $ \gamma$ az erő és az elmozdulás által bezárt szög. Így a munkát a következőképpen számoljuk:

$\displaystyle W=F\cdot s\cdot \cos\gamma.
$

Matematika tanulmányainkat felhasználva ekkor már kimondhatjuk, hogy a munka az erő és az elmozdulás skaláris szorzataként számolható. A feladatban szereplő adatokkal:

$\displaystyle W=\mathbf{F}\cdot \mathbf{s}=F\cdot s\cdot \cos 60^{\circ}=80~$N$\displaystyle \cdot 300~$m$\displaystyle \cdot 0{,}5=12\,000~$J .

Látható, hogy párhuzamos egyirányú vektorokra ez a képlet visszaadja a hetedikben tanultakat, merőleges elhelyezkedés esetén pedig nincs munkavégzés, hiszen $ \cos90^{\circ}=0$. Ez a feladat is rávilágít arra, hogy mennyire fontos az erő felbontása az elmozdulásra merőleges és azzal párhuzamos összetevőkre. (Az mindegy, hogy az erőt bontjuk fel összetevőkre, vagy az elmozdulást.)

A tizedikes fizikaórákon a vektorok vektoriális szorzásának előkészítése is megtörténik. Annak ellenére, hogy matematikából ez nem tananyag, érdemes erről tudnunk, így tudunk válaszolni azokra a kérdésekre, hogy a függvénytáblázatban a fizikai képletekben miért jelölik kétféleképpen a szorzást ($ \cdot$ és $ \times$ jelekkel) és miért kell a skaláris jelző a skaláris szorzathoz, miért nem beszélhetünk egyszerűen csak szorzásról.

Ezekre a kérdésekre adott válaszban támaszkodjunk a fizikai előismeretekre. Vegyük a munka képletét: $ W=\mathbf{F}\cdot \mathbf{s}$. Ebben a vektormennyiségeket vastagon szedve jelöljük. Látszik, hogy két vektor szorzata nem vektor eredményre vezet. Nézzük meg, milyen jelenségkörben találkozhatnak a diákok olyan vektorszorzással, aminek eredménye is vektor!

Ha egy $ Q$ töltéssel rendelkező részecske a mágneses tér erősségét jellemző $ \mathbf{B}$ mágneses indukcióvektorra merőlegesen $ \mathbf{v}$ sebességgel mozog, akkor a töltött részecskére erő hat, aminek nagysága:

$\displaystyle F=Q\cdot v\cdot B.
$

Az erő iránya merőleges a $ \mathbf{v}$ és $ \mathbf{B}$ vektorra, irányát „jobbkézszabállyal” határozzuk meg.

Ha a részecske az indukcióvonalakkal párhuzamosan mozog, akkor nincs erőhatás. Általános esetben célszerű a sebességvektort az indukcióvonalakra merőleges és azzal párhuzamos összetevőkre bontani, amivel az erő nagyságára az

$\displaystyle F=Q\cdot v\cdot B\cdot sin\alpha
$

összefüggést kapjuk, ahol $ \alpha$ a $ \mathbf{v}$ és $ \mathbf{B}$ vektorok által bezárt szög. Ha az erő irányát a „jobbkézszabálynak” megfelelően meghatározzuk, már a vektoriális szorzat fogalmánál tartunk. Emelt szintű fizika csoportban ezt meg is mondhatjuk és megmutathatjuk, hogy a függvénytáblázatban szereplő

$\displaystyle \mathbf{F}=Q\cdot \mathbf{v}\times \mathbf{B}
$

képlet ezt jelenti, amiben a $ \times$ jel a vektoriális szorzat jele.

Látjuk, hogy itt két vektor szorzása vektort eredményez. Emiatt tehát szükség van a kétféle jelölésre és a megkülönböztető skaláris (és itt elmondhatjuk, hogy vektoriális) jelzőre.

Ismétlés, elmélyítés, komplex gondolkodás fejlesztése

A fizikaórák jó színterei a tanult matematikai összefüggések gyakorlásának, elmélyítésének. Az órák zömében a diáknak rutinosan kell kezelnie a mértékegységek átváltását, a hatványozás azonosságait, a törtekkel való műveleteket, az egyenletrendezési lépéseket. A bevezetőben a teljesség igénye nélkül felsoroltam néhány területet, amelyek ismeretére szükségünk lehet a különböző fizikai problémák megoldásakor. Sok esetben a matematikaórán előforduló példáknál összetettebb feladatokban kell összekapcsolni az ezekről tanultakat. Egy közép- és egy emelt szintű fizika érettségi példán keresztül bemutatom, hogy milyen feladatokkal kell megbirkózniuk a diákoknak.

Egy gömb alakú, gömbszimmetrikus anyageloszlású, 9000 km sugarú bolygó körül két űrszonda kering körpályán. Az egyik szonda sebessége $ 4800~$m$ /$s, a pályájának sugara $ 50\,000$ km. A másik szonda pályájának sugara $ 30\,000$ km. Mekkora a bolygó átlagsűrűsége? A gravitációs állandó: $ \gamma=6{,}67\cdot 10^{-11}\frac{\text{Nm}^2}{\text{kg}^2}$.

Középszintű fizika érettségi 2014. május 19. 2. feladat a) része

Megoldás:

A körpályán keringő űrszonda mozgásához szükséges centripetális erőt a Föld és a szonda között fellépő gravitációs erő biztosítja, így az $ m\cdot\frac{v^2}{r}=\gamma\cdot\frac{M\cdot m}{r^2}$ képlettel számolhatunk, ahol:

a bolygó tömege: $ M$,
az űrszonda tömege: $ m$,
az űrszonda sebessége: $ v=4800~\frac{\text{m}}{\text{s}}=4{,}8\cdot 10^3~\frac{\text{m}}{\text{s}}$, 
a körpálya sugara: $ r=50\,000~$km$ =5\cdot 10^7~$m,
a bolygó sugara: $ R=9000~$km$ =9\cdot 10^6~$m.

 

A sűrűség kiszámításához először számoljuk ki a bolygó tömegét!

Az egyenletet egyszerűsítve és rendezve, illetve felhasználva hogy $ 1~$N$ =1~$kg$ \cdot \frac{\text{m}}{\text{s}^2}$azt kapjuk, hogy:

$\displaystyle M=\frac{v^2\cdot r}{\gamma}=\frac{\left(4{,}8\cdot 10^3~\frac{\te...
...t{kg}^2}}
\approx 17{,}3\cdot 10^{24}~\text{kg}=1{,}73\cdot 10^{25}~\text{kg}.
$

A bolygó átlagsűrűsége:

$\displaystyle \rho=\frac{M}{V}=\frac{M}{\frac{4R^3\pi}{3}}
=\frac{1{,}73\cdot 1...
...566\cdot 10^7~\frac{\text{kg}}{\text{m}^3}
=5660~\frac{\text{kg}}{\text{m}^3}.
$

A feladat megoldásánál alkalmazott matematikai ismeretek: mértékegység-átváltás (fordított arányosság), normálalak, műveletek normálalakban megadott számokkal, műveletek törtekkel, hatványozás azonosságai, gömb térfogata, egyenletrendezés lépései, kerekítés. A diákok számára a feladatmegoldást nehezíti, hogy a tanult azonosságokat számok mellett a mértékegységekre is kell alkalmazni. Olykor könnyítésként az SI egységekben megadott mértékegységeket nem írjuk be az egyenletbe, csak megállapítjuk, hogy a végeredményt milyen egységben kapjuk.

A rendszeresen használt matematikai összefüggések (hatványozás, törtek, arányosság) mellett szinte minden ismeretre mutathatunk gyakorlati alkalmazást a fizika területéről. Ezek ismerete segítheti a tanulókat az emelt szintű érettségire készülésben, és elkerülhetjük vele azokat a kérdéseket, hogy „Mire fogom én ezt használni?” Természetesen ehhez szükséges, hogy az alkalmazási lehetőségekkel a matematikatanár is tisztában legyen és ha lehet, minél többel találkozzon a diák a matematikaórákon.

A második példa az emelt szintű fizika érettségi szóbeli részének egy mérési feladatából származik.

Különböző magasságokból leeső acélgolyó esési idejének mérésével határozza meg a nehézségi gyorsulás értékét!

Emelt szintű fizika érettségi szóbeli mérési feladata

Elméleti háttér: A szabadesést leíró $ s=\frac{g}{2}t^2$ képlet alapján az $ s$ egyenesen arányos $ t^2$-tel, így az $ s(t^2)$ függvény meredekségének kétszerese adja $ g$ értékét.

$ s$ (m) $ t_{1}$ (s) $ t_{2}$ (s) $ t_{3}$ (s) $ t$ (s) $ t^2$ (s²) $ g~\left(\frac{\text{m}}{\text{s}^2}\right)$
$ 0{,}423$ $ 0{,}296$ $ 0{,}277$ $ 0{,}286$ $ 0{,}286$ $ 0{,}082$ $ 10{,}319$
$ 0{,}613$ $ 0{,}353$ $ 0{,}356$ $ 0{,}361$ $ 0{,}357$ $ 0{,}127$ $ 9{,}638$
$ 0{,}885$ $ 0{,}428$ $ 0{,}435$ $ 0{,}441$ $ 0{,}435$ $ 0{,}189$ $ 9{,}368$
$ 1{,}068$ $ 0{,}46$ $ 0{,}47$ $ 0{,}467$ $ 0{,}466$ $ 0{,}217$ $ 9{,}850$

 
$\displaystyle g=\frac{10{,}319+9{,}638+9{,}368+9{,}850}{4}~\frac{\text{m}}{\text{s}^2}\approx 9{,}79~\frac{\text{m}}{\text{s}^2}.
$

 

Kp5 levgva

t(s2)

A megoldást egy konkrétan elvégzett mérés adatai alapján adtam meg kétféle módon. Az első módszerben a különböző esési magasságokhoz mért időadatok átlagolása után az első és hatodik oszlop adataiból a $ g=\frac{2s}{t^2}$ képletbe való behelyettesítéssel minden magasság mellett számoltunk egy $ g$ értéket, majd ezeket átlagoltuk.

A második módszerben a táblázat 1. és 6. oszlopa alapján ábrázoltuk az $ s(t^2)$ függvényt. A vízszintes tengelyen a $ t$ értékeket ábrázolva a négyzetes úttörvényt mutatná a grafikonunk, így viszont egyenes arányosságot fedezhetünk fel a tengelyeken jelölt mennyiségek között. Ez jól látszik abból, hogy a mérési adatokra illesztett egyenes meghosszabbítása átmegy az origón.

A $ g$ értékét a grafikon meredekségének kétszerese adja, ami a pontokra illesztett egyenes alapján:

$\displaystyle g=\frac{\left(0{,}96-0{,}72\right)~\text{m}}{\left(0{,}2-0{,}15 \right)~\text{s}^2}\cdot 2=9{,}6~\frac{\text{m}}{\text{s}^2}.
$

(A két érték közötti eltérés legfőbb oka, hogy a grafikon felbontása nem elég jó, a leolvasott értékek pontatlanok, de a módszer szemléltetésére alkalmasak.)

A fent ismertetett függvényábrázolási technikával matematikaórákon nem találkoznak a diákok. A technika azért hasznos, mert a pontokra parabolát szabad kézzel nem tudunk illeszteni, egyenes viszont egész könnyen illeszthető, amelynek a meredekségét is könnyen le tudjuk olvasni. Fizikaórán több állandó értékét határozhatjuk meg hasonló módon előállított lineáris függvény meredekségéből (például a rugóállandót a rugón függőlegesen rezgő test periódusidejének és a rezgő test tömegének kapcsolatát vizsgálva).

Mint láthattuk, a fizika feladatok megoldása általában összetett gondolkodást igényel. A fizikai ismeretek mellett a tanulónak a matematika több területén addig szeparáltan tanított ismereteit kell összekapcsolnia. Ezek a feladatok hozzájárulnak a komplex gondolkodás fejlesztéséhez, amire a matematika érettségi feladatok megoldásához is szükség lesz.

A bemutatott példákból látható, milyen fontos a számológép rutinos használata. Míg matematikaórán sok esetben törekszünk arra, hogy a tanuló fejben próbálja kiszámítani a végeredményt, addig fizikaórán már hetedik osztálytól tanítjuk a gyerekeket a számológép használatra. Ennek természetesen az az oka, hogy a mérésekből nyert adatok nem olyan kerek eredményekre vezetnek, mint amivel a matematikaórákon dolgoznak, így fejszámolásra kevésbé alkalmasak (mint az érettségi mérési feladatnál is láthattuk). A normálalak használatánál megbeszéljük, hogyan jelenik meg a számológép kijelzőjén, hogyan kell beírni a gépbe a hatványokat. Gyakoroljuk a műveleti sorrendnek megfelelően történő műveletsor beírását, a hatványokkal való számításokat, a szögfüggvények számítását, a fok és a radián közötti átváltást, stb. Ezek a gyakorlatok a matematikaórákon is nagyon hasznosnak bizonyulnak.

Egy-egy fizikafeladatot érdemes időnként matematikaórára, vagy szakkörre bevinni. Ezt tehetjük például úgy, hogy az aktuális matematikai problémát összekapcsoljuk az aktuális, vagy a már tanult fizikai problémával. Ennek előnye, hogy a tanulók szövegértése, a szakmai szövegben való eligazodása, komplex gondolkodása fejlődik. Emellett szakköröseink, versenyzőink a várhatóan emelt szintű matematika érettségijükre készülve konkrétan találkozhatnak különböző alkalmazási területekkel, miközben problémamegoldó képességük fejlődik.

Tantárgyunk tanítása során mindannyian hasonló problémákkal küzdünk. Az óraszám kevés, a tananyag sok és gyakran változik. Problémát okoz, hogy a diákok érdeklődését egyre nehezebb felkelteni, fenntartani. A széttagolt ismeretek integrálására nem marad idő. A problémák egy részére talán megoldást adhat a tantárgyak közötti összefonódások feltérképezése, és az ebből adódó lehetőség felismerése. A matematika és fizika között különösen sok kapcsolódási pont van. A cikk kereteibe ebből csak egy kis töredék fért bele. A Pázmány Péter Katolikus Egyetemen 2019. novemberében tartott előadásomhoz készített háttéranyag ennél jóval több lehetőségre is rámutat: https://tovabbkepzes.itk.ppke.hu/content/Matematika/2019/4_Fizika.pdf.

A cikkhez válogatott néhány példából talán kiderül, hogy érdemes belelátni ezekbe a kapcsolatokba. Fontos ismerni, hogy például a fizika tantárgy a matematikának milyen alkalmazási területeit mutatja be, mit és milyen életkorban használ fel a matematikai ismeretekből, továbbá milyen matematikai módszerekkel, fogásokkal ismerteti meg a tanulókat, amelyekkel a matematikaórákon nem találkoznak. Ennek ismeretében tanításunk színesíthető, időbeosztásunk hatékonyabbá tehető. A tantárgyi kapcsolódások ismeretében a nem matematikai irányban továbbtanuló diákjaink számára is rávilágíthatunk a tanított ismeretek fontosságára, alkalmazási lehetőségeire az élet különböző területein.

Bakosné Novák Andrea
Kempelen Farkas Gimnázium, Budapest

 

15. szám 2020. március

Még több cikk

Az Érintő 2020-as első számának megjelenését március 14-ére időzítettük. Ezen a napon van ugyanis a Matematika Világnapja! 2020-ban ez az első ilyen hivatalos ünnep, amelyet a Nemzetközi  Matematikai Unió javaslatára 2019. novemberében fogadott el az UNESCO. Az első, úgynevezett „pi-nap” 1988. márc. 14-én volt: a dátum, a 3.14 a ℼ két tizedes jegyre kerekítve. Persze a magyar matematikusok már évtizedekkel korábban is remek pi-verseket írtak. Tovább...

A Szegedi Tudományegyetem Bolyai Intézetének hat matematikusa – Boldog Péter, Tekeli Tamás, Vizi Zsolt, Dénes Attila, Bartha Ferenc és Röst Gergely – azt modellezte, hogy az egyes országokban mekkora a veszélye egy Kínán kívüli járványkitörésnek. A matematikai modellek alkalmazása igen hatékony módszer lehet a járványok elleni küzdelemben. Segítségükkel pontosabb becsléseket adhatunk a COVID-19 járvány fő paramétereire – mint az inkubációs időszak és a fertőző időszak hossza, vagy a járvány reprodukciós száma –, előre jelezhetjük a járvány jövőbeli terjedését, kiértékelhetjük az eddigi intézkedések hatását, esetleg új intézkedéseket javasolhatunk. Tovább…

A π-ről már a régi görögök is tudtak: bármely két kör hasonló, ezért bármely kör kerületének és átmérőjének aránya ugyanannyi. Arkhimédész beírt és körülírt szabályos sokszögekkel próbálta megközelíteni az egységnyi átmérőjű kör kerületét. Ám a π, bár görög betű, nem az ógörögöktől, de még csak nem is az ókorban kapta a nevét. Írásos feljegyzések szerint William Jones walesi matematikus használta először a π-t a kör kerületének (periféria) és átmérőjének arányára egy 1706-ban megjelent munkájában. Ezt a jelölést vette át Leonhard Euler svájci matematikus az 1730-as években, és innen terjedt el a világon. Fried Katalin gyűjtött össze néhány érdekes, hasznos tudnivalót. Tovább...

Az Úton-módon sorozat második részében Szoldatics József ismét egy geometria példát mutat meg, és mindazt, ami róla az eszébe jutott... A 2019 évi Nemzetközi Magyar Matematikaverseny egyik, 9. osztályosoknak szóló feladatát Erdős Gábor (Batthyány Lajos Gimnázium, Nagykanizsa) javasolta. A feladatra matematika tanárok egy csoportja 20 elemi megoldást adott. Ezek közül a közölt hét megoldás mindegyike a maga nemében szép, vagy valami szép tulajdonságot használ. Tovább...

Hogyan képesek megvédeni modern társadalmunkat a számok? Hogyan lehetséges az, hogy technikai civilizációnk léte vagy nem léte múlik olyan dolgokon, amelyek csak a képzeletünkben léteznek? Ilyen kérdéseken gondolkodik Moldvai Dávid, aki egy azok közül, akik szerint a matematikusok világa meglehetősen elvont és furcsa. A „kívülálló”, akit az információelmélet és a kriptográfia érdekel, elindította a youproof.hu blogot. Olvassák, érdemes! Tovább…

A szerző, B. A. Korgyemszkij (1907–1999) az orosz nyelvű matematikai ismeretterjesztés legfontosabb alakja volt. Nem ez az első könyve magyarul sem, például 1962-ben jelent meg tőle a Matematikai fejtörők. Az ismertetendő könyv viszont az utolsó, amit írt. A feladatok kis történetek formájában jelennek meg, amelyekben az orosz népmesék és szépirodalom számos alakjával találkozunk. Rovatszerkesztőnk, Tóth János nosztalgiával és iróniával fűszerezett kedvcsinálója következik. Tovább…

Harcos Gergelyt már óvodásként is különösen érdekelték a számok, amiket egy ösvénynek tekintett. Középiskolás korában nyáron élvezettel oldott meg egyre több és több feladatot a Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapokból (egyetemi évei végén pedig már a matematika szerkesztőbizottság tagjaként dolgozott). 10 évet töltött Amerikában matematikus kutatóként, majd 2006-ban települt vissza családjával Magyarországra. Tudományos tanácsadó a Rényi Alfréd Matematikai Kutatóintézetben.

Orosz Gyula diákjai a szakkörön a 9. osztály egyik legkönnyebb szerkesztési feladatából kiindulva lépésenként eljutnak egy jóval nehezebb problémához: Adott egy egyenes, egy külső P pont és egy O középpontú kör. Tükrözzük a P pontot az egyenesre úgy, hogy további kört már nem rajzolhatunk! Azaz a szerkesztéshez csak egyetlen kört, azon túl pedig csak vonalzót használhatunk. Az eszközkorlátozott szerkesztések témaköre önállóan is érdekes. Általában nem igényel mélyebb előismereteket, ezért a tanulók kedvelni szokták, a dinamikus geometriai szoftverekkel pedig maga a szerkesztés technikai végrehajtása sem túl fáradságos. Tovább...

Daniel Tammet: Számokban létezünk című könyve már szerepelt az Érintő előző számában, most egy teljesen más recenziót olvashat róla az érdeklődő, az előzőt egy gyógypedagógus írta, ezt pedig egy matematikus, Ruzsa Imre. Ezért neki egészen más dolgok jutnak az eszébe ugyanarról a műről. Véleménye szerint: „A könyv műfaja: vegyesfelvágott; szerző olvas mindenfélét, erről mindenféle eszébe jut, és ezeket leírja. Sokfélét összeolvas és élénken jár a fantaziája, úgyhogy a könyv általaban szórakoztató.” Tovább...

Füredi Zoltán minden évben nyert az országos középiskolai versenyeken, de a tehetség mellett a sikerhez az is hozzájárult, hogy előre kiolvasta a speciális matematika tagozat négy évfolyamának tankönyveit, és legalább húszezer feladatot megoldott. Évfolyamának egyik legjobb matematikusa, aki kívülről tudta József Attila verseit. Több mint 20 évet töltött félig az Amerikai Egyesült Államok különböző egyetemein, félig a Rényi Alfréd Matematikai Kutatóintézetben. Ma a kombinatorika nemzetközi hírű kutatóprofesszora.

A Wolfram nyelv (archaikusan: Mathematica) többször is szerepelt már folyóiratunk hasábjain, de mivel nem elégszer, ezért most Tóth János ismertet néhány aktuális érdekességet folytatva a programozásról szóló előző írását. Amint bizonyára mindenki jól emlékszik, ott alapvető ismeretekről (a Map és az Apply függvényről) volt szó, itt viszont a másik végletről. Egészen összetett feladatok ellátására képes függvényekről.  (Képünk forrása: Computational intelligence, wolframalpha.com.) Tovább...

2019 decemberében a Szegedi Tudományegyetem Bolyai Intézetének vendége volt Philip Maini, az Oxfordi Egyetem professzora, a matematika biológiai alkalmazásainak világszerte egyik legnevesebb kutatója. Érdekes előadásáról, amelyet A biológiai és kémiai önszerveződés matematikája címmel tartott a Bolyai Intézet hagyományos karácsonyi szemináriumán, Dénes Attila számol be. Tovább…

A fejlett országokban is megfigyelhető az az aggasztó jelenség, hogy csökken a diákok érdeklődése a természettudományok, a technológia, a műszaki tudományok iránt, miközben egyre nagyobb szükség van ezeken a területeken széles látókörrel, komplex problémamegoldó képességgel és nagyfokú flexibilitással  rendelkező szakemberekre. A BME Természettudományi Kara Science Camp néven 2016. óta szervez ingyenes természettudományos tábort hazai és határon túli középiskolás diákoknak. Lángné Lázi Márta számol be az eddigi tapasztalatokról. Tovább…

Az előző évtizedben két olyan matematikust is Fields-éremmel díjaztak (Cédric Villani 2010, Alessio Figalli 2018), akiknek munkájában az optimális transzport probléma jelentős szerepet játszott. A probléma születését Gaspard Monge 1781-ben publikált művéhez, (egyik) újászületését pedig Leonyid Vitaljevics Kantorovics 1942-es dolgozatához kötik. (Ő látható címképünkön, Petrov-Vodkin 1938-ban készült festményén.) Ebben a rövid írásban Titkos Tamás bemutatja a transzport probléma Monge- és Kantorovics-féle megfogalmazásait. Tovább...

A Bolyai János Matematikai Társulat 2019-es díjainak kiosztására, valamint a Kürschák József Matematikai Tanulóverseny és a Schweitzer Miklós Matematikai Emlékverseny eredményhirdetésére december 11-én került sor. A Szele Tibor Emlékérem, a Grünwald Géza Emlékérem, a Farkas Gyula Emlékdíj és a Rényi Kató Emlékdíj szabályzata, megemlékezve a névadókról is, a Társulat honlapján itt olvasható. Híradásunk ismerteti a díjazottakat, akiknek nevére kattintva olvashatják méltatásukat.Tovább...

A matematika és fizika tudománya évszázadok óta kart karba öltve fejlődik. A fizika a matematika nyelvén fogalmazza meg törvényeit, igényei pedig hatással vannak a matematika fejlődésére. Az iskolában azonban találkozunk azzal a problémával, hogy fizikaórán már alkalmazás szinten kellene használni a tanulónak olyan matematikai összefüggéseket, amelyekkel a matematikaórán még alig, vagy egyáltalán nem találkozott. A fizikatanár sokszor rákényszerül arra, hogy bevezesse a hiányzó matematikai ismereteket. Bakosné Novák Andrea saját tapasztalait is átadja, bemutatva, milyen lehetőségeket ad hozzá a matematika tanításához a fizika. Tovább...

Jim Holt legújabb könyve nemrég jelent meg Magyarországon Jakabffy Éva és Jakabffy Imre fordításában, a Typotex Kiadó gondozásában. Az ismertetett témák tág területen kalandoznak: találkozhatunk a Riemann-sejtéssel és a négyszíntétellel, húrelmélettel és az univerzum végére vonatkozó elméletekkel, olvashatunk Ada Byron és a számítógéptudomány kapcsolatáról, vagy éppen az idő természetéről és az eugenetikáról. Lángi Zsolt recenziója itt olvasható. Tovább...

2018. júniusi számunkban értesülhettek a 2. Formális reakciókinetikai szimpóziumról. 2020. január 9.-én és 10.-én sor került a harmadikra is a BME H épületében, evvel a címmel: 3rd Workshop on Formal Reaction Kinetics and Related Areas. A szűk értelemben vett elmélet mellett tehát idén helyet kaphattak járványtani, génszabályozási vagy rákkutatási témák is. Bővült a résztvevők és az érdeklődő intézmények, országok száma. A miniszimpóziumról Tóth János minibeszámolója következik. (Bevezető képünket a molekulák ritka és sűrű ütközéseiről Sadi Carnot készítette.)Tovább…