Laczkovich Miklós: 333 mértékelméleti feladat

Laczkovich Miklós: 333 mértékelméleti feladat

 

Laczkovich Miklós: 333 mértékelméleti feladat, Typotext, 2018

Magyar nyelven ennyire sok témát átfogó mértékelméleti példatár régen jelent meg (az alább felsorolt könyvek egyes fejezeteiben találhatunk mértékelméleti feladatokat: Kirillov, Gvisiani, Feladatok a funkcionálanalízis köréből 1979, Kolmogorov, Fomin, A függvényelmélet és a funkcionálanalízis elemei 1981, Halmos, Mértékelmélet 1984), ezért tekinthetjük a könyvet hiánypótlónak. A könyv az alapoktól indulva (halmazrendszerek) az integráláson át eljut a mértékek differenciálásáig. Az egyes fejezetek elején rövid elméleti összefoglaló segít felidézni a fejezetben használandó definíciókat, tételeket.

A könyv egyik előnye (hátránya?), hogy sok fogalmat, eredményt az $ {\bf R}^p$ térben fogalmaz meg, topologikus tér helyett. (Lásd például a Borel-halmaz definícióját a 20. oldalon.) Így kevesebb előismerettel is olvasható. A 10. és 11. fejezetek (Mértéktartó leképezések, illetve Korlátos változású függvények), elég rövidre sikeredtek. A 15. fejezet, Mértékek differenciálása, betekintést nyújt egy haladóbb témába.

A mértékelméletben számos olyan állítás van, amelynek eredménye sokszor ellentétes a szemléletünk alapján várhatóval. Ezek többnyire nehéz konstrukciók, mély halmazelméleti ismereteket használnak. Ugyanakkor segítenek jobban megérteni a témát. Erre egy példa a következő (221. példa): Bizonyítsuk be, hogy van olyan szigorúan monoton folytonos (sőt folytonosan differenciálható) $ f\colon [0,1]\to[0,1]$ függvény, amely egy pozitív mértékű halmazt nullmértékű halmazba képez. Ez a példa azért is érdekes, mert ugyanakkor tudjuk, hogy (114. példa): ha $ H\subset{\bf R}$ Lebesgue-mérhető és pozitív mértékű, akkor van olyan $ f\colon {\bf R}\to{\bf R}$ Lipschitz-függvény, amely $ H$-t egy nem-elfajuló intervallumra képezi.

Aki nem akarja rögtön a megoldást fellapozni, az a megoldás ötletét egy külön fejezetben elolvashatja. S bár egy feladat nehézségének megítélése sokszor szubjektív, talán érdemes lett volna megjelölni azokat, amelyek egy egyetemi kurzuson a minimálisan elvárható szintet képviselik.

A Tárgymutatóban többnyire az első (és nem az összes) előfordulás oldalszáma van megadva. Ez a hiányosság a könyv elektronikus változatánál nem okoz gondot.

A mértékelmélet szakirodalma hatalmas. Az érdeklődő olvasó kedvéért érdemes lett volna az Irodalomjegyzékbe felvenni néhány klasszikus, és néhány újabb keletű nem magyar nyelvű könyvet is. A témakörben elmélyülni szándékozók számára ennek a könyvnek a könyvespolcon a helye.

Szabó Sándor
BME Ananlízis Tanszék

 

Laczkovich Miklós: 333 mértékelméleti feladat, Typotext, 2018259 oldal, ISBN: 978-963-4930-05-1