A „Romanian Master of Mathematics” verseny
A legrangosabb nemzetközi matematikaverseny, a Nemzetközi Matematikai Diákolimpia (International Mathematical Olympiad – IMO) mellett számos regionális matematikaverseny létezik. Magyarország ezek közül kettőn vesz részt rendszeresen: a Közép-Európai Matematikai Olimpián (Middle European Mathematical Olympiad – MEMO), és az Európai Leány Matematikai Olimpián (European Girls' Mathematical Olympiad – EGMO). Az előbbit 2007 óta, az utóbbit 2012 óta évente rendezik, más-más országban. (Az első IMO éve 1959 volt.)
Van azonban egy rangos nemzetközi matematikaverseny, amelyet minden évben ugyanaz az ország rendez, a „Romanian Master of Mathematics” (RMM). Ez egy meghıvásos verseny – a szervezők az IMO élmezőnyébe tartozó országokat hıvják meg, kiegészıtve néhány egyéb ország csapatával. A kitűzött feladatok nehézsége eléri, sőt néha meghaladja az IMO-feladatok átlagos nehézségét.
A versenyre 2009 óta minden év februárjának végén kerül sor Bukarestben. A szervezők generózusan állják az összes résztvevő szállásának és ellátásának költségét. A fő szervező Románia egyik legjobb középiskolája, a bukaresti Tudor Vianu Lıceum, amit különböző szervezetek támogatnak. A támogatók egyike a Román Matematikai Társulat, amelynek elnöke, Radu Gologan évek óta a román IMO-csapatot is vezeti.
A versenyen az IMO-hoz hasonló rendszerben két egymás utáni napon négy és fél óra alatt 3-3 feladatot kell megoldani. Itt azonban nemcsak egyéni verseny van, hanem – az IMO-val ellentétben – van hivatalos csapatverseny is. Ezen – hogy az eltérő létszámú csapatok esélyeit kiegyenlítsék – minden csapatból csak a három legtöbb pontot elért versenyző eredményét veszik figyelembe. Magyarország csapata rendszerint az erős mezőny első harmadában végez az RMM versenyen.
Végül illusztrációként álljon itt egy feladat egy korábbi RMM-ről:
különböző érmét helyezünk el egy szabályos -szög csúcsaiba, minden csúcsba egy érmét. Egy lépés alatt azt értjük, hogy kiválasztjuk a -szög egy oldalát, és annak az oldalnak a két végpontjában lévő érméket kicseréljük egymással. Tegyük fel, hogy véges sok lépés után mindegyik érmepár pontosan egyszer lett kicserélve. Bizonyítsuk be, hogy van olyan oldal, amit soha nem használtunk.
Pelikán József
RMM 2017
Bukarest, 2017. február 22-27.
Szerdán kora reggel szálltunk fel Budapesten a vonatra; 14 órával később már Bukarestben találtuk magunkat. A vonatút kifejezetten kellemes volt: mind jól ismertük egymást matektáborokból, és előre örültünk a találkozásnak. Az út során kártyázás közben kielemeztünk néhány geometriapéldát a közelmúlt versenyeiről (OKTV, Dürer Verseny...), beszéltünk a versenyszervezés és a kutatás kihívásairól, és megosztottuk kedvenc filmsorozatainkat. Az ablakból időnként érdemes volt kinézni a februári tájra, különösen amikor a Duna mellett haladt vonatunk a Vaskapu-szorosban.
Este fáradtan, de jókedvvel értünk a szállásra. Ekkor egyesítettük erőinket a repülőgéppel utazó „különítménnyel”, így vált teljessé a magyar csapat:
Borbényi Márton és Tóth Viktor (a Kaposvári Táncsics Mihály Gimnázium 12. osztályos tanulói); Bukva Balázs és Molnár-Sáska Zoltán (a Budapesti Fazekas Mihály Gimnázium 11. osztályos tanulói), Gáspár Attila (a miskolci Földes Ferenc Gimnázium 11. osztályos tanulója) és Williams Kada (a Szegedi Radnóti Miklós Gimnázium 12. osztályos tanulója);
és a csapatvezetők: Hujter Bálint (a Budapesti Fazekas Mihály Gimnázium matematikatanára) és Lenger Dániel (az ELTE matematikus doktorandusza).
Marci, Zoli, Balázs és Attila került az egyik szobába, Kada és Viktor pedig egy fiatal ukránnal osztozott a másikon. A matracokban a megszokott puha, szivacsos anyag mellett rugó alakú fém alkatrészeket is felfedeztünk: ez Balázst, miután bordái a fémrugók között éppen a megfelelő állásba kerültek, egyáltalán nem zavarta, Kadának viszont még úgy is nehézségei akadtak, hogy további paplanrétegeket helyezett maga és ágya közé.
Bár más-más időben aludtunk el, mindenki ugyanakkor ébredt: ezt az önkéntes román diákok hangos kopogtatással biztosították. Nem ezért kedveltük meg őket, jóllehet sikerült ily módon még a verseny napja előtt átállni a román időszámítás szerinti 7.30-as kelésre. Aznap délelőtt egy érdekfeszítő előadás során betekintést nyerhettünk a hiperbolikus geometria analitikus leírásának mélységeibe. Ezután szétnéztünk kicsit a városban a házigazdáink vezetésével, igencsak imponált például az adományokból épült Atheneum hangversenyterem épülete (ez az épület egyébként az 5 lejes hátoldalán is szerepel). Délután pihentünk kicsit, majd a megnyitón vettünk részt az ASE (a bukaresti Közgazdasági Egyetem) dísztermében.
A következő két nap délelőttjén írtuk meg a versenydolgozatokat. Összesen hat feladaton dolgozhattunk, és mivel mi is éppen hatan vagyunk, így mindenki egy-egy feladatról mondta el a véleményét:
„Az 1. feladat egy eléggé mechanikus példa volt, ahol egy rekurzív képletet kellett felírni egy sorozatra. Utáltam. Mondjuk eleinte félreolvastam és másfél órát foglalkoztam egy sokkal nehezebb változattal.” (Tóth Viktor)
„A 2. feladat könnyebb volt, mint gondoltam, bár a verseny vége felé sikerült megcsinálnom, és nem volt elég időm teljesen leírni. Tetszett, mert sokféle különböző polinommal oldható meg.”
(Bukva Balázs)
„Általában nem gondolkozom előszeretettel kombinatorika-példákon, de a 3. feladat ez alól kivételnek mutatkozott. Kár, hogy nem volt elég időm verseny közben vele foglalkozni, miután bő 3 órát elvitt az első két feladat tisztázása.” (Williams Kada)
„Szerintem a 4. feladat egy nagy ötleteket nem igénylő koordináta-geometriai példa volt, habár hazafelé a vonaton megoldottuk euklideszi és projektív geometriával is.” (Borbényi Marci)
„A kedvenc feladatom volt az 5.: találtam egy átfogalmazást páros gráfokkal, és ott jól lehetett alkalmazni a Kőnig-Hall-tételt, amit most már egy életre megjegyeztem. Utólag kiderült, hogy pofátlanul egyszerű indukciós megoldás is adható volt rá, de az sokkal kevésbé volt természetes.” (Molnár-Sáska Zoli)
„A 6. feladat a verseny legnehezebb feladata volt. Egy bonyolult négyszöges geometriafeladat volt, és sajnos hiába próbálkoztam mindenféle inverziós trükkökkel, nem sikerült megoldanom.”
(Gáspár Attila)
Az első versenynapon a másodikra pihenve, a másodikon pedig az eső miatt délután a koleszban élveztük egymás társaságát. Zoli és Marci megoldotta, hogy Zoli laptopjáról megossza az internetet, és így tudtunk egy laptopon közösen autókat versenyeztetni. Kezdetben Balázs mindenkit letolt az útról, de aztán közösen sikerült kivédenünk szemtelen viselkedését.
Játszottunk egymás ellen Honfoglalót és különféle kártyajátékokat is. Sőt, mikor Balázsnak és Marcinak kedve támadt pingpongozni, ám asztalt nem talált, összedobtak egyet a szobában fellelhető alapanyagokból.
Bukarestet nem találtuk különösebben szép városnak: az épületek külseje általában el van hanyagolva. Bár akadnak helyenként modern épületek, az utcaképet jórészt a kommunista időszak téglatestei alkotják, csak néhány 19. századi lakóház maradt fenn a Ceausescu-rezsim után. A várost inkább lakosai tették érdekessé, mint például a kollégiumunk lakói, akik állandóan az udvaron cigiztek és hangos rapzenére táncoltak.
A sok park és tér kitűnő terep volt egy hosszú sétára, így a negyedik nap reggelén két lelkes román
házigazdánk, Anca és Andrei társaságában nekivágtunk a fővárosnak. Fél órát töltöttünk egy vásárban, ahol román jellegzetességeket lehetett venni. Meg is kóstoltuk a helyi fogásokat, így a szájunkban elolvadó borjút és a zamatos, de nem csípős kolbászt. Ezt követően kedvünk támadt közelebbről megismerni a bukaresti metrórendszert (mind a négy vonalon utaztunk), míg kísérőinkkel beszélgettünk a sulijukról és a román közéletről. Így akadtunk rá a 40 éves metróvonalukra, aminek szerelvényeit a fiatalok éjszaka graffitivel színesítik, ezzel teljesen egyedi hangulatúvá téve utunkat.
A záróünnepség a versenyeknek is helyszínt adó Tudor Vianu Gimnázium aulájában zajlott. Néhány csapat egységes öltözetben jelent meg: például az ukránok népies felsőben, a távol-keletiek pedig a sportolókéhoz hasonló egyen-melegítőben. Mások öltönyben, de a legtöbben hétköznapi ruhában vették át a díjaikat.
Az érmeket 8 fős csoportokban adták át, és minden csoport országzászlókkal együtt állt ki a rögtönzött színpadra. Akadt, aki csalódott, mint Mexikó, de például az olaszok egyik ezüstérmesét hárman körbevitték a teremben, így ünnepelve első érmét a negyedik nemzetközi versenyén. A magyar csapat vegyes érzemekkel fogadta az eredményt: bár akadt köztünk olyan aki előzetesen jobbat remélt, de a többség őszintén örült a megszerzett díjaknak, melyek a következők voltak:
– Williams Kada 30 ponttal és
– Borbényi Márton 25 ponttal ezüstérmet,
– Molnár-Sáska Zoltán 21 ponttal,
– Tóth Viktor 20 ponttal,
– Bukva Balázs 18 ponttal bronzérmet szerzett;
– Gáspár Attila 16 ponttal dicséretben részesült.
A versenyen egyébként egyetlen diák, a kínai Lihuang Ding szerzett maximális 42 pontot. Hét versenyző kapott aranyérmet, Kada csak hajszállal maradt le erről. A csapatok versenyét Dél-Korea nyerte, míg a téli szünetben hagyományosan velünk együtt tréningező brit csapat a tavalyi évhez hasonlóan 2. lett. Mi a középmezőny első felében, a 19 csapat közül holtversenyben a 7-8. helyen végeztünk. A részletes végeredmény elérhető a verseny honlapján: http://rmms.lbi.ro/rmm2017.
Az eredményhirdetés utáni fogadás derült hangulatban telt. Itt búcsúztunk el román házigazdáinktól. Ezt követően öten visszatértünk a kollégiumba, Kadát pedig meghívták az angol és amerikai csapat közös vacsorájára. Kevés (vagy semennyi) alvás után pedig hajnali 4.15-kor a vasútállomásra indultunk, és az ottani gyorsétteremben szerelkeztünk fel elegendő táplálékkal utunk átvészeléséhez. A vonatra ülve legtöbbünk rögvest elaludt, de aztán ahogy felébredtünk, folytatódott a beszélgetés, persze matematikai témákat is érintve: szó esett például a p-adikus számokról és Gallai Tibor tételeiről.
Értékes versenytapasztalatokkal, újonnan tanult matematikai ötletekkel és sok egyéb élménnyel is gazdagodtunk utunk során. Köszönjük a bukaresti szervezőknek a vendéglátást és a színvonalas versenyfeladatokat; a Bolyai Társulatnak az utazás megszervezését. Az útiköltség előteremtésében a Társulaton kívül segítségünkre volt még a Korszerű Iskoláért Alapítvány (Miskolc), a Kaposvári Tankerületi Központ és a MOL Új Európa Alapítvány, nekik is köszönettel tartozunk.
a csapattagok közös élményei alapján lejegyezte: Williams Kada